載流導體的二維溫度場的分析

周 玲

(惠州學院電子科學系，廣東 惠州 516007)

0 引言

目前，在機電設備設計過程中，通電導體的受熱問題越來越受到人們的重視，如匯流排、電機線圈等，這些問題都可以等效為載流導體的熱電耦合問題。眾所周知，導體在通過電流時都會產生熱量，從而使導體的溫度升高。由電流熱效應公式可知，在外界環境條件相同時，通過導體的電流強度大、導體的自身電阻大、通電時間長，導體的溫度就高。導體在未通過電流時，其溫度和周圍介質溫度相同，當通過電流時由于發熱使溫度升高，并與周圍介質產生溫差，熱量將逐漸散失到周圍介質中去。對于載流導體工作時內部的溫度分布狀況，國內外學者做了大量研究，并提出了理論計算公式并被逐步應用到實際生產過程中，但由于導體溫度場不僅與坐標有關，而且與時間有關，其邊界條件也有不同，目前，導體溫度場無線性關系的研究對象所采用的簡化模型所得到的解中包含了大量的不確定參數，因此要得到某一點的近似值解必須經過復雜的運算。目前，國內外很多學者在研究中采用有限元法對導體溫度場進行分析，得出導體溫度場的等溫圖。該方法簡便直觀，易于對導體溫度場進行靜態分析。在制造工程領域中，計算機技術是模擬導體溫度場的最有效的方法之一，通過建立數值分析模型模擬整體分布狀況，可以減少實驗次數。因此，越來越多的研究者應用有限元技術對導體溫度場進行分析、研究。隨著計算機性能和運算速度的迅速提高，有限元法不但自身日趨完善，而且在與其它技術相結合方面也取得了較大的發展，如自適應網絡劃分、二維溫度場、應力場的建模求解等。

1 溫度場分析理論基礎

1.1 熱傳導基本理論

傳熱過程按其傳熱方式可分為三種:熱傳導、熱對流、熱輻射，它們既可以單獨存在，也可以同時發生。在這三種基本方式中，熱量傳遞的物理本質是不同的，但都遵循傅立葉定律和熱導微分方程。傅立葉定律可以表示為:

其中，k為導熱系數，q為熱流密度，grad(T)為溫度梯度。式中的負號表示q的方向始終與grad(T)的方向相反。應用公式(1)在數學場論中以梯度和散度的向量形式來推導導熱微分方程是很方便的，但在一般分析計算中，用得更多的是它的分量形式:

其中，n為物體任意邊界面處的外法線方向向量。在簡單一維問題中，通常使坐標軸與n重合，而且邊界面也往往就是等溫面，所以q的下標x、y和n也經常被略去。傅立葉定律說明，熱流矢量和溫度梯度位于等溫面的同一法線上，但是指向溫度降低的方向，同時導熱系數在各個方向上是相同的。傅立葉定律確定了熱流矢量和溫度梯度的關系，因此要確定熱流矢量的大小，就必須知道溫度梯度，亦即物體內的溫度場。為了得到物體溫度場的數學表達式，就必須根據能量守恒定律與傅立葉定律，來建立導熱物體中的溫度場所滿足的數學關系式，稱為導熱微分方程(假定導熱物體是各項同性的)。二維平面問題具有內熱源和瞬態溫度場的固體導熱微分方程的表達式如下:

其中，T為物體的瞬態溫度，t為過程進行的時間，k為材料的導熱系數，ρ為材料的密度，cp為材料的定壓比熱，qv為材料的內熱源強度。

1.2 導熱問題的定解條件

為了得到微分方程的唯一解，必須附加初始條件和邊界條件，統稱為定解條件，與微分方程耦合求解。邊界條件是指工作外表面與周圍環境的熱交換情況。在傳熱學中一般把邊界條件歸納為三類，限于篇幅，現僅以第二類邊界條件來說明。第二類邊界條件的單元物體邊界上的熱流密度為已知，用公式表示為:

其中，q2 為已知熱流密度(常數)，g(x，y，t) 為已知熱流密度函數。

2 載流導體二維溫度場有限元計算

2.1 模型建立

設一長度為10cm，寬度為5cm，厚度為5cm的矩形銅導體，如圖1所示。當有電流通過時，初始一端的溫度為200℃，另一端為冷卻槽10℃，銅的導熱系數為385W/m·K。通過對已知條件的分析，假設其Z方向既無熱傳導也無熱交換，故只把模型簡化為xy平面內的二維熱傳導問題。

圖1 二維載流體模型

2.2 邊界條件

在計算過程中，選取x*y=10cm*2cm區域劃分單元。導體左表面的溫度為200℃，所以物體邊界上的溫度函數為已知，故為第一類邊界單元;右表面接有冷卻槽溫度為10℃，故也為第一類邊界條件單元;上表面和下表面因為有電流通過，所以物體邊界上的熱流密度為已知，故為第二類邊界條件。

2.3 網格劃分

對溫度場進行網格劃分的情況如圖2所示，采用自適應網格劃分，單元網格為三角形，為了強調某部分的場分布，可以局部細化處理。

圖2 計算區域有限元網格劃分

2.4 結果分析

從載流導體導電過程中的溫度場分布圖(見圖3)中，我們可以清楚地看到，由于功率損耗在整個導電體內均勻分布，所以隨著導電時間的擴散，溫度呈現均勻分布:200℃、181℃、162℃、143℃、124℃、105℃、86℃、67℃、48℃、29℃、10℃，每次降低19℃。所以，我們可以得到，當導體兩端溫度保持不變，并且通過導體的熱流量穩定時，導體中的溫度呈均勻分布狀態。當我們得知溫度場分布情況后，我們還可以計算出通過導體的電流強度。通過對溫度場的進一步研究分析，我們可以看出，當給出機電設備所需導體的內部溫度分布情況時，我們往往可以通過熱分析來確定導體的形式和尺寸。以本文所建立的模型為例:通過對導體頂端溫度場的分布圖(見圖4)分析可以看出，頂端的熱端溫度為200－156.83=43.17℃，然后通過公式:，其中 K、A、q 已知，就可以計算出導體頂端的長度為2.27cm;同理，由中間溫度分布圖(見圖5)和底端溫度分布圖(見圖6)可以分別算出導體中間和底端的長度為3.34cm和4.39cm。當溫度場分布均勻時，我們可以簡單地計算出導體形狀;但是當溫度場分布不均勻時，計算就會變得愈加困難，隨之得出的導體形狀也會更加復雜。這對于如何為機電設備選擇合適的導體提供了重要的參考。還有，在分析溫度的分布情況時，可以計算裝置的額定推拉限度(裝置內部受力的限度)，因為該限度通常與運行溫度相關，從而通過準確的計算來改善裝置的壽命。另外，通過對溫度場的研究，還可以周期性地對導體材料進行評估和更新，從而更加準確地對裝置的溫度場分布進行預測。

圖3 整體溫度分布圖

圖4 頂端溫度分布圖

圖5 中間溫度分布圖

圖6 底端溫度分布圖

3 結論

本文對載流導體的溫度場進行了二維的模擬仿真與研究，并通過實例驗證了基于ANSOFT的溫度場模擬分析方法。通過本文的研究，可以得出以下結論:

(1)用ANSOFT軟件對載流導體二維溫度場進行了仿真分析，在一定范圍內能夠較準確地模擬出載流導體的溫度場，對載流導體的研究具有參考價值，對載流導體的應用具有一定的參考意義。

(2)通過對有限元法的運用，了解到在解決平面問題時，首先必須正確地劃分有限單元網格，才能使計算結果同實際相符合，從而發揮有限元法的優越性。

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