分數階超混沌系統的自適應函數投影同步

劉金桂

(淮陰工學院 數理學院，江蘇 淮安 223003)

0 引言

自Pecora和Carroll提出混沌同步原理以來，混沌同步問題引起了人們的廣泛關注。在同步問題的研究中，提出了許多同步的方式，如完全同步、相同步、滯后同步、廣義同步、投影同步和函數投影同步等。由于函數投影同步的思想是驅動系統和響應系統以一定的比例函數進行同步，并且比例函數的選擇具有一定的靈活性，因此將函數投影同步運用到保密通信中可更好地加強保密通信中信息的安全性，從而引起越來越多的學者的關注。

另一方面，自20世紀60年代分數階微積分應用于控制領域以來，分數階系統控制的研究經歷了一個很長的緩慢發展過程。目前，大部分以微分方程的形式描述的控制系統，其微分方程均考慮為整數階。實際上，許多物理系統展現出分數階動力學行為。由于采用分數階描述那些本身帶有分數階特性的對象時，能更好地揭示對象的本質特性及其行為，因此引起了越來越多的研究者的興趣。文獻［10、11］基于追蹤控制的思想，利用分數階系統穩定性理論分別討論了分數階系統的函數投影同步和分數階混沌系統與整數階混沌系統之間的混沌同步問題。文獻［12］基于滑模控制理論和自適應控制理論，研究了分數階混沌系統的同步問題。文獻［13］基于分數階系統穩定性理論，設計了控制器和未知參數的辨識規則，實現了分數階超混沌系統的同步。然而，到目前為止，討論關于具有未知參數的分數階超混沌系統的函數投影同步方面的文獻還很少。因此本文在文獻［10］的基礎上討論了具有未知參數的超混沌系統的自適應函數投影同步問題。

1 問題描述

考慮下述形式的驅動－響應混沌系統:

其中，x(t)、y(t)∈Rn表示系統的狀態變量。f(x)為非線性向量函數:Rn→Rn連續可微，并且滿足Lipschitz條件:‖f(x1)－f(x2)‖ ≤L‖x1－x2‖，L ＞0。

定義1 對任意初始值x0、y0，若存在控制器u(t)，使得e=y－∧(t)x→0(t→∞)，則稱系統(1)和系統(2)達到函數投影同步。

本文通過設計控制器u(t)和參數更新規則，使系統(1)和系統(2)達到函數投影同步。

2 自適應控制器設計和穩定性分析

定義誤差為e=y－∧(t)x，其中，∧(t)是連續有界的可微函數矩陣。

基于追蹤控制與自適應控制策略，選擇控制輸入和參數更新規則分別為:

其中，K1(x，y)和K2(x，y)為函數矩陣，K為正定矩陣，θ^用來估計未知參數θ。

系統(1)和系統(2)的誤差系統為:

定理 對誤差系統(5)，若存在函數矩陣K1(x，y)，K2(x，y)和正定矩陣P、Q、K，使得:

則系統(1)和系統(2)達到函數投影同步。

假設λ為矩陣:

的任一特征根，且相應的特征向量記為ζ，

3 數值仿真

為了驗證所設計的控制器的正確性和有效性，選擇如下的超混沌系統作為驅動系統和響應系統。

其中，a、b、c、d、μ、v是系統參數，當q=0.97、(a，b，c，d，μ，v)=(35，4，25，5，35，100) 時，系統是超混沌的。

驅動系統和響應系統的初始值分別取為［－2，0，1，－1］T和［1，0，－2，2］T，函數矩陣 ∧ (t)=diag(sint+2，cos2t－2，2sint+1，－cost+1)，仿真步長為0.01。仿真后的系統誤差和參數辨識結果分別如圖1和圖2所示。

圖1 系統誤差隨時間變化的曲線

圖2 參數變化軌跡

仿真結果表明，驅動－相應系統實現了函數投影同步，同時也實現了未知參數的辨識。

4 結論

本文討論了參數不確定分數階超混沌系統的函數投影同步問題，基于自適應控制策略，設計了控制器和參數更新規則;同時利用分數階系統穩定性理論，分析了系統的穩定性，并給出了數值仿真結果，驗證了所設計的控制器和參數更新規則的有效性和正確性。

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