帶有Gilbert阻尼項的Landau-Lifshitz鐵磁鏈方程解的最佳衰減率

羅蘭

(廣州大學數學與信息科學學院,數學與交叉科學廣東普通高校重點實驗室,廣東廣州 510006)

帶有Gilbert阻尼項的Landau-Lifshitz鐵磁鏈方程解的最佳衰減率

羅蘭

(廣州大學數學與信息科學學院,數學與交叉科學廣東普通高校重點實驗室,廣東廣州 510006)

主要研究帶有Gilbert阻尼項的Landau-Lifshitz鐵磁鏈方程的柯西問題.當初值的一階導數適當小時,基于加權能量估計,證明了強解的整體存在性并且給出了解的最優的L2和L∞衰減估計.

Landau-Lifshitz方程;Gilbert阻尼;鐵磁性;整體適定性;衰減估計

1 引言

本文主要研究了具有Gilbert阻尼項的一維Landau-Lifshitz鐵磁鏈方程的柯西問題,方程形式如下:

其中未知函數u是向量值函數,代表磁鐵的自選量,α1是Gilbert阻尼常數(參見文獻[1-2]).

方程(1)主要刻畫了能量守恒和自旋量的變化規律.Landau和Lifshitz首次推導出方程組(1)(參見文獻[3]).從那時起,物理學家和數學家開始關注這一重要模型,并且取得許多重要的研究結果.文獻[1]系統地介紹了模型(1)的物理背景和數學研究進展.由自旋場的模的有限性以及Gilbert阻尼常數的非負性,有如下限制條件:

在給出主要定理之前,首先介紹模型(1)的相關的物理和數學研究工作.方程(1)對于理解非平衡態的鐵磁場起到至關重要的作用,因此有必要通過對模型(1)的數學理論研究來驗證一些重要的物理現象.當空間維數為1且α1=0時,方程(1)轉化成可積系統從而具有孤立子解.文獻[4-9]系統地研究了孤立子解的存在性、相互作用、無窮守恒律、逆散射問題以及與非線性薛定諤方程的相互關系,也可以參見相關研究文獻[10-13].當初值屬于維黎曼流形上的Sobolev空間時,文獻[1]證明了高維方程組(1)弱解的整體存在性.對于二維情形,他們能夠得到更好的正則性和解的唯一性.文獻[8-9,14]系統地研究方程組(1)的解的性質以及解與緊致黎曼流形上的調和映照的緊密聯系.另外,在一些具體的物理情形,必須考慮磁場和電場效應,文獻[10]首先研究方程組(1)與Maxwell方程組的耦合組.文獻[15]也系統地研究了這類耦合組.關于模型(1),也有許多數值模擬結果[1112].

本文將證明Landau-Lifshitz方程組柯西問題(1)-(4)強解的整體存在性.另外,還將證明解漸近趨于常狀態,并且給出最優的衰減估計.主要定理敘述如下:

定理1若初值u0滿足條件(3)-(4).那么柯西問題(1)-(4)具有唯一的強解滿足:u(x,t)-ˉu∈Hs(R).而且當t→+∞時具有如下最優衰減估計:

通過解的局部存在性定理和一致加權能量估計,可以證明上述定理.由于方程組(1)解的局部存在性定理是經典結果,為了敘述的簡潔性不再贅述,將在下一節中詳細介紹一致加權能量估計.所有的能量估計都是基于以下先驗假設:

首先假設(5)式成立,然后基于此先驗假設可以證明‖u-ˉu‖H2被初值‖u0-ˉu‖H2控制.因此,由初值條件(4)和Sobolev不等式可得(5)式成立.在第二節中,將詳細推導方程組(1)解的先驗估計.在第三節中,將推導最佳L2(R)和L∞(R)衰減估計.在接下來的推導中,為了方便起見,對于向量值函數u,將其L2(R)范數記為‖u‖,將其L∞(R)范數記為‖u‖∞.

2 先驗估計

在本節中,將給出解的一致先驗估計,而這些估計足以證明解的整體存在性和解的衰減率估計.首先有如下的L2估計.

引理1假設(3)-(4)式成立.則

其中用到了(15)式.這樣,就能夠得到更高階導數的估計.然后與本節所得到的關于解的一致估計和解的局部存在性結果結合起來,就可以得到柯西問題(1)-(4)強解的整體存在性和唯一性.下面來推導主要定理中關于解的漸近估計.

3 最優衰減率

基于上節中得到的一致估計,將在本節給出方程(1)的解的衰減率估計,并且從證明過程中可以看出這個衰減率是最優的.

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Optimal rate of decay for solutions for the Landau-Lifshitz equation with Gilbert damping for ferrom agnetism

Luo Lan
(School of Mathem atics and In form ation Science,Key Laboratory of Mathem atics and Interdiscip linary Sciences of Guangdong Higher Education Institutes,Guangzhou University,Guangzhou 510006,China)

In this paper we study the Cauchy prob lem for the im portant Landau-Lifshitz equation with Gilbert dam ping for ferrom agnetism.W e estab lish the global existence of strong solution and at the sam e tim e we give some decay estimates of solutions which are indeed optimal.Our analysis is based on the a priori weighted energy estimatemethods.And only the smallness of the first derivatives of the initial data is assumed.

Landau-Lifshitz equation,Gilbert dam ping,ferrom agnetism,global existence,optical decay rates

O29

A

1008-5513(2012)03-0313-16

2012-04-10.

國家自然科學基金(11126021).

羅蘭(1962-),碩士,講師,研究方向：應用數學.

2010 MSC:35A 01,35B40,35G35,35Q80