弱耗散抽象發(fā)展方程全局吸引子的存在性

王春梅,汪璇,鐘承奎

(1.西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,甘肅蘭州 730070;2.南京大學(xué)數(shù)學(xué)系,江蘇南京 210093)

弱耗散抽象發(fā)展方程全局吸引子的存在性

王春梅1,汪璇1,鐘承奎2

(1.西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,甘肅蘭州 730070;2.南京大學(xué)數(shù)學(xué)系,江蘇南京 210093)

采用定義泛函,忽略粘性阻尼項(xiàng)時(shí),在特定空間中研究了弱耗散抽象發(fā)展方程,得到了該方程全局吸引子的存在性結(jié)論,豐富了該類方程全局吸引子存在性的證法.

弱耗散抽象發(fā)展方程;記憶核;全局吸引子

1 引言

在有界域Ω??3上考慮弱耗散抽象發(fā)展方程

全局吸引子的存在性,其中參數(shù)θ∈(0,2],k(0),k(∞)＞0,且k′(s)≤0,?s∈?+.

關(guān)于通常的抽象發(fā)展方程:

系統(tǒng)能量耗散通過阻尼項(xiàng)和記憶項(xiàng)實(shí)現(xiàn),而我們研究的方程(1)在該方程基礎(chǔ)上去掉阻尼項(xiàng),則能量耗散減弱.由于去掉阻尼項(xiàng),通常的抽象發(fā)展方程能量估計(jì)方法在此方程上無法直接使用,具體表現(xiàn)在能量估計(jì)中將無法用ut+σu作為試驗(yàn)函數(shù)來進(jìn)行能量估計(jì).本文通過定義泛函巧妙地克服了這項(xiàng)困難.

關(guān)于忽略粘性阻尼項(xiàng)的雙曲方程前人已有所研究,并獲得了全局吸引子的結(jié)果[1].但當(dāng)算子為抽象算子時(shí),關(guān)于忽略粘性阻尼項(xiàng)的抽象發(fā)展方程的討論還很少.關(guān)于方程(1),本文研究了弱解的存在唯一性,并且,進(jìn)一步證明了方程(1)對(duì)應(yīng)的解半群的全局吸引子的存在性.

2 預(yù)備知識(shí)

設(shè)H=L2(Ω),b(u,v)為H上的連續(xù)的雙線性型,且是對(duì)稱和強(qiáng)制的.由此線性型聯(lián)合H上的線性自伴無界算子A,其定義域D(A)?H,令(Au,v)=b(u,v),?u,v∈H.設(shè){λj}j∈?,{ωj}j∈?為A的特征值和特征向量,因此{(lán)ωj}j∈?可構(gòu)成H中的一組正交基,有

使用這組基可容易定義A同構(gòu)的冪算子族Aθ,θ∈(0,2][2],其定義域D(Aθ)?H.顯然

為Hilbert空間,內(nèi)積和范數(shù)相應(yīng)為:

易知算子Ar為從D(As)到D(As-r)上的同構(gòu)映射,?s,r∈?.

由A的無界自伴性知Aθ也為無界自伴.因此當(dāng)θ1≥θ2時(shí),D(Aθ1)在D(Aθ2)中緊,則

3 主要結(jié)果

[1]GiorgiC,Rivera JE M,Pata V.Global attractors for a sem ilinear hyperbolic equations in viscoelasticity[J]. J.Math.Anal.App l.,2001,260:83-99.

[2]Teman R.In finite Dimensional Dynam ical System in Mechanics and Physics[M].2nd ed.New York:Sp ring-Verlag,1997.

[3]Pata V,Zucchi A.A ttractors for a dam ped hyperbolic equation with linear m em ory[J].Adv.Math.Sci. App l.,2001,11:505-529.

[4]汪璇,任利寧.帶衰退記憶的抽象發(fā)展方程全局吸引子的存在性[J].蘭州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,44:99-102.

[5]汪璇,鐘承奎,馬巧珍.帶衰退記憶的抽象發(fā)展方程解的漸近性[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2009,45:6-10.

[6]Ma Qingfeng,Wang Shouhong,Zhong Chengkui.Necessary and sufficient conditions for the existence of global attractor for sem igroup and app lication[J].Indiana University Mathem atics Journal,2002,51:1541-1559.

[7]Ma Qiaozhen,Zhong Chengkui.Existence of strong global attractors for hyperbolic equation with linear memory[J].App lied Mathematicsand Com putation,2004,157:745-758.

[8]Ghidaglia JM,Tem am R.A ttractors for dam ped nonlinear hyperbolic equations[J].J.m ath.pures App l., 1987,66:273-319.

[9]汪璇,鐘承奎.帶衰退記憶的抽象發(fā)展方程強(qiáng)全局吸引子的存在性[J].蘭州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2010,46:113-118.

Existence of global attractors for weak d issipation abstract evolution equations

Wang Chunmei1,Wang Xuan1,Zhong Chengkui2
(1.College of Mathem atics and In form ation Science,Northwest Norm al University,Lanzhou 730070,China; 2.Departm ent of Mathem atics,Nanjing University,Nanjing 210093,China)

In this paper,by themethod of defining functional,when viscoelastic dam ped term wasneglected,we investigated and achieved the existence of global attractors for weak dissipation abstract evolution equations in particu lar space,so that them ethod of the existence of globalattractors for this type of equationswas extended.

weak dissipation abstract evolution equation,memory kernel,global attractor

O175.27;O175.29

A

1008-5513(2012)03-0401-11

2012-01-12.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11101335,10871160).

王春梅(1987-),碩士生,研究方向：無窮維動(dòng)力系統(tǒng).

2010 MSC:38Q 80