帶不定權非線性邊界的p-Lap lacian問題解的存在性

楊菲菲,章國慶

(上海理工大學理學院,上海 200093)

帶不定權非線性邊界的p-Lap lacian問題解的存在性

楊菲菲,章國慶

(上海理工大學理學院,上海 200093)

研究了一類帶不定權非線性邊界的p-Laplacian橢圓方程.獲得了當非線性邊界的特征值參數小于第二特征值時,該方程存在非平凡解.主要工具為環繞定理.

環繞定理;非線性邊界;p-Lap lacian問題

1 引言

為Steklov問題[1].文獻[2]證明了問題(1.2)存在一列特征值序列λk→+∞,且其對應的特征函數構成Sobolev空間W1,2(Ω)中的一組完備規范正交基.當p/=2時,文獻[3]研究如下特征值問題:

利用L-S臨界點定理,證明了問題(1.3)存在變分特征值序列λk→+∞,但是,并不清楚其對應的特征函數是否構成W1,2(Ω)中的一組完備規范基.這給利用環繞定理來討論帶非線性邊界的p-Lap lacian問題帶來了本質困難.1998年,文獻[4]建立了一種新的環繞定理,并研究了

證明了當λ＜λ2時(為第二特征值),問題(1.4)非平凡解的存在性.

本文利用一類帶不定權非線性邊界的p-Lap lacian特征值問題第二特征值性質以及文獻[4]提出的環繞定理,證明了當特征值參數λ小于其第二特征值時,問題(1.1)存在非平凡解.

2 預備知識和主要定理

證明了問題(2.4)的第一特征值λ1的單重性,孤立性,以及所對應的特征函數的不變號性,以及存在一列趨向于無窮大的特征值λk→+∞,同時也證明了第二特征值為

據特征值問題(2.4)的第一特征值和第二特征值的性質,類似文獻[4]中的推論2.1,可得:

3 定理2.3的證明

由V(x)滿足條件(*)和(H1),可得E(u)∈C1(W1,p;?),則問題(1.1)的弱解即為泛函E(u)的臨界點,由條件(H2)易知,0是問題(1.1)的平凡解.

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Existence result for the p-Laplacian problem with nonlinear boundary cond itions

Yang Feifei,Zhang Guoqing
(College of Sciences,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

In this paper,we consider a class of p-Lap lacian elliptic equation with indefinite weights nonlinear boundary condition.The existence of nontrivial solutions for the equation is obtained when the eigenvalue param eter of the indefinite weight is less than the second eigenvalue.Them ain tool is the linking argum ent.

linking argum ent,non linear boundary condition,p-Lap lacian prob lem

O175.25

A

1008-5513(2012)03-0412-06

2011-05-25.

上海市自然科學基金(11ZR 1424500);上海市重點學科建設項目(S30501).

楊菲菲(1985-),碩士生,研究方向：非線性分析及其應用.

2010 MSC:35J60,47J30