收斂無窮限廣義積分被積函數在無窮遠處性質

張立柱

(上海財經大學應用數學系,上海 200433)

收斂無窮限廣義積分被積函數在無窮遠處性質

張立柱

(上海財經大學應用數學系,上海 200433)

討論了第一型廣義積分收斂時被積函數在無窮遠處漸近性質,證明當廣義積分收斂時,被積函數在無窮遠處不一定趨于零,而可以表現為其他多種形式,如劇烈振蕩的連續函數,或間斷函數,甚至可以是特殊形式的非負連續函數等.最后給出當廣義積分收斂時,判別被積函數在無窮遠處是否趨于零時的幾個條件.

廣義積分;漸近性質;收斂

1 引言

從幾何意義上講,積分可理解為函數曲線與x軸所圍圖形面積的代數和.從sin x2的圖像可看出(圖1),當x充分大時,函數劇烈震蕩,可以近似理解為,此時無論如何選取積分區間,被積函數與x軸所圍正的面積與負的面積可以相互抵消,從而導致廣義積分收斂.

圖1 函數y=sin x2的圖像

由此而引發的一個很自然的想法,如果廣義積分收斂,同時排除上面這種會導致正負面積抵消的函數出現,即限定廣義積分不僅收斂,而且是絕對收斂的,是否就會有limx→+∞f(x)=0呢?答案依然是否定的.定義函數

在區間[0,+∞)中的絕大部分里都有f(x)=0(如圖2所示),只有總和不超過2的區間里才有f(x)＞0,看起來似乎是由于f(x)＞0的區間段過小導致積分收斂,如果針對這一點,將函數再修正為在整個積分區間上都有f(x)＞0,此時應該會有limx→+∞f(x)=0了吧？答案依然是不能.考察函數

這里函數g(x)是按公式(2)定義的.顯然在區間[1,+∞)上f(x)＞0連續.再由

圖2 (2)式定義的函數圖像

2 ∫+∞af(x)d x收斂時使得limx→+∞f(x)=0成立的條件

以上反例的一個共同點是,當x充分大時,函數總有“震蕩點”存在,這些“震蕩點”對廣義積分收斂影響不大,但卻會影響函數在無窮遠處的性質,這就是廣義積分與無窮級數的一個很重要的區別.下面研究如何消除這些“震蕩點”的影響.

定理2.1若∫+∞af(x)d x收斂,且f(x)單調,則

證明不妨設f(x)單調減少,則此時必有f(x)≥0.否則設存在x0使得f(x)＜0,由f(x)單調減少知,?x＞x0有f(x)＜f(x0)＜0,根據廣義積分比較判別法知積分發散,從而與題設矛盾.

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Asymptotic properties of convergent in finite integral′s integrand

Zhang Lizhu
(Department of App lied Mathematics,Shanghai University of Finance and Econom ics, Shanghai 200433,China)

In this paper,asym ptotic properties of convergent infinite integral′s integrand are discussed.It is proved that the lim itation of integrand at infinite distance does not equal zero when the in finite integral is convergent,but the integrand can bem any other types,such as violent vibrating continuous function,discontinuous function,or even non-negative continuous function of specialized type.Several conditions are given to distinguish whether the lim itation of integrand at in finite distance equals zero or not when the in finite integral is convergent.

infinite integral,asym p totic p roperty,convergence

O172.2

A

1008-5513(2012)03-0303-05

2011-07-02.

張立柱(1973-),博士,講師,研究方向：計算流體力學.

2010 MSC:26A 42