交聯聚乙烯電力電纜電樹枝生長的混沌特性分析

廖瑞金 周天春 劉 玲 周 湶 汪 可

（1. 重慶大學輸配電裝備及系統安全與新技術國家重點實驗室 重慶 400044 2. 廣州供電局 廣州 510620）

1 引言

交聯聚乙烯（Cross-Linked Polyethylene，XLPE）電力電纜由于其優越的絕緣性能在交流高壓電力網中得到了廣泛應用。運行經驗表明[1]，XLPE電纜在電、熱、機械和環境（水）等應力的長期作用下，會形成水樹枝或局部弱區擊穿，進而形成樹枝狀放電破壞通道，電樹枝化產生以后很快就會發生完全或不完全的擊穿[1,2]，因此電樹枝化是制約XLPE電力電纜運行安全性和壽命的核心問題。

局部放電與電樹枝生長過程密切相關，研究者們對電樹枝產生局部放電的相位分布模式（Phase Resolved Partial Discharge，PRPD）特征[3-6]、單個波形特征[7,8]、趨勢特征[9]和連續脈沖間的時間差特征[10]等進行了大量研究，期待找到合適的局部放電特征量，為電樹枝的診斷服務，但是通常這些特征量缺乏相應物理機理的支撐。研究[11,12]認為電樹枝的生長符合確定性混沌形成的條件，采用電樹枝單位時間內局部放電次數（放電重復率）發展趨勢作為觀測對象，初步論證了電樹枝生長的混沌特性；也有研究[13]將連續的局部放電脈沖間的時間、電壓、和幅值差進行標準化后進行混沌分析，并認為它們的混沌特征可應用于XLPE電纜附件電樹枝化的診斷。因此，有必要更深入地研究電樹枝生長的混沌特性，以便更深入地了解電樹枝生長的物理機理和找到能有效診斷電樹枝的局部放電特征量。

本文采用實際的XLPE電纜作為試驗樣品，以針尖模擬電場應力的集中，在不同的電壓和溫度下得到了6個電樹枝樣品，引入了混沌理論分析電樹枝生長的過程，并以電樹枝局部放電單位時間內的最大放電量和總放電量作為分析對象，結合電樹枝的生長的物理機理，提取并分析了電樹枝生長的混沌特征。

2 混沌的基本原理與分析方法

2.1 相空間重構

時間序列被廣泛應用于科學和工程技術領域，但由于時間序列是很多物理因子相互作用的綜合反映，它蘊藏著參與運動的全部變量的痕跡，而把時間序列擴展到三維甚至更高維的相空間，能夠充分顯示時間序列蘊涵的信息，即時間序列的相空間重構。

在確定性的基礎上，對系統動力學因素的分析，目前廣泛采用的是延遲坐標狀態空間重構法[14]，以便把時間序列中蘊藏的信息充分地顯露出來。具體為：設{xn:n=1，2，…，N}是物理因子的時間序列，將其嵌入到 m維歐氏空間 Rm中，得到一個點（或向量）集J(m)，其元素記作

式中，τ 為時間延遲；m為嵌入維數；相點總數k=N-(m-1)τ，Xi為重構相空間相點，i=1,2,…,k。

2.2 時間序列的混沌檢驗

混沌的本質是系統內部的非線性作用機制，但并非任何非線性系統都會產生混沌，因此需要進行混沌檢驗。常用的混沌判別方法有 Lyapunov指數法、功率譜法、Poincare截面法和主分量分析法等方法。

Poincare映射能很好地刻畫混沌的往復非周期特性，當Poincare截面上有且僅有一個不動點或少數幾個離散點時，運動是周期的；當Poincare截面上是一封閉曲線，該運動是準周期的；如果Poincare截面上既不是有限點集也不是封閉曲線，則對應的運動就可能是混沌，更進一步，如果系統沒有外部噪聲擾動又有一定阻尼，Poincare映射的結果將是具有某種細致結構的點集。

2.3 時間序列的混沌特征提取

在初步確定時間序列具有確定性混沌特性的基礎上，需要進一步地分析其特征，通常采用奇怪吸引子的統計特征，如 Lyapunov指數、分形維數、Kolmogorov熵來表征系統的宏觀特征。

根據Takens定理[15]，需要找到一個合適的時間延遲τ和嵌入維數 m重構出系統在相空間的演化軌跡，即奇怪吸引子。在實際操作中最佳延遲時間的選取方法主要有以下幾種：①互信息法；②其他信息論的方法，如冗余度法、信息熵等方法；③自相關法和復自相關法；④預報效果法等；其中自相關法和復自相關法的應用比較成熟，互信息應用比較廣泛。求取最佳嵌入維數的方法主要有以下幾種:①關聯指數飽和法；②奇異值分解(SVD)；③偽最鄰近點；④改進的偽最鄰近點法；⑤預測效果法等。

3 XLPE電纜電樹枝化試驗及結果

3.1 試驗樣品

試驗采用型號為 YJV22—3×95，8.7/15kV XLPE電纜作為試驗樣品，樣品結構如圖 1所示，電纜線芯直徑11.5mm，內半導體屏蔽層厚0.5mm，XLPE絕緣層厚4.8mm，外半導體屏蔽層厚0.55mm，銅帶緊貼外屏蔽層，以針尖模擬電場應力的集中,針尖到內半導體屏蔽層的距離為2.8mm。

3.2 試驗線路

試驗通過檢測局部放電來監測電纜中的電樹枝發展，因此采用數字化的局部放電檢測方法，試驗線路如圖3所示，調壓器、變壓器、10kΩ保護電阻和1000pF的耦合電容組成一個50kV/50kVA無暈局部放電電源系統，傳感器為鐵氧體羅柯夫斯基線圈（帶寬 50kHz～15MHz），局放信號經過 10～100倍的程控放大和 100kHz的高通濾波后，利用LeCroy Wavepro7100示波器（帶寬1GHz，最高采樣率20GS/s）進行觀測和采集存儲。

圖1 XLPE樣品結構Fig.1 Structure of the XLPE sample

圖2 局部放電試驗接線圖Fig.2 Partial discharge testing circuit

加壓結束的XLPE電纜樣品，利用切片機將電纜切成1～3mm的薄片后，利用帶攝像頭的數碼體式顯微鏡（最大放大倍數300倍）進行拍照觀測。

3.3 試驗結果

基于針-板電極系統的研究結果表明[8-10]：電樹枝生長過程很復雜，受到多因素的影響，如針電極結構（曲率半徑）、材料、電壓、溫度、頻率以及試樣的處理等等。對于實際運行中的XLPE電力電纜，電壓頻率是固定的工頻，電場應力集中的形式是未知的，但是額定運行的溫度達90℃，所以對于實際XLPE電力電纜電樹枝化最主要的壞境影響因素為電壓和溫度。

因此制作了6組電纜樣品進行試驗，樣品a、b、c、d在常溫下分別以 1kV/s的升壓速度升壓至12kV、15kV、18kV和21kV后穩定，樣品e、f分別在50和70℃下以1kV/s的升壓速度升壓15kV后穩定，觀測并記錄局部放電數據，為了數據對照的方便，在最大放電量達到1500pC左右時結束加壓，切片并觀測電樹枝。

試驗結果見表1和圖3所示，其中D1為橫截面切片觀測的樹枝寬度，D2為縱截面切片觀測的樹枝寬度。

表1 不同電樹枝試驗結果Tab.1 Results of different electrical trees

圖3 不同電壓下的電樹枝照片Fig.3 Photos of electrical trees under different voltages

4 電樹枝生長的局部放電混沌特性分析

4.1 混沌時間序列選擇

混沌描述的是一個過程，而不是一種狀態，為研究電樹枝生長的混沌特性，必須首先確定一種可測變量，它的數值將反應出能控制生長隨機漲落的局部參數。可通過局部放電的數值來測量電樹枝的生長隨機漲落，主要包括放電次數和放電量，Dissado[12]對單位時間內的放電次數的時間序列進行了混沌研究。然而，放電次數的統計受測量系統靈敏度的影響較大，即較小的局部放電脈沖可能會被忽略掉，因此本文選取局部放電放電量的時間序列作為混沌研究的時間序列。

和放電次數時間序列一樣，首先需要得到等時間距離觀測的放電量時間序列，即需要選擇一個合適的時間距離。結合已有的研究經驗和混沌分析樣本量的需求，每0.3s統計一次數據，a、b、c、d、e和f樣品 6組電樹枝的時間序列如圖4和圖5所示，總樣本點數 N 分別為 2 400、2 000、2 000、5 000、2 000和2 000。

圖4 最大放電量時間序列Fig.4 The time series of maximal PD magnitude of electrical trees propagation

圖5 總放電量時間序列Fig.5 The time series of total PD magnitude of electrical trees propagation

為了消除偽數據與干擾的影響，在混沌分析之前對序列進行標準化處理，已知時間序列{yk：k=1，…，N}是等時間距離觀測得到的放電量時間序列，對該序列進行標準化處理，見式（2）。

式中，ymin=min{yj，j=1，2，…，N}，ymax=max(yj，j=1，2，…，N)

4.2 混沌時間序列初步檢驗

采用Poincare截面法進行初步檢驗，得到15kV常溫下的電樹枝樣品b的最大放電量和總放電量的時間序列的Poincare截面如圖6所示。圖6a中，x(n)和 x(n+τ)表示相空間重構后的最大放電量和延遲時間τ 得到的最大放大量；圖 6b中，x(n)和 x(n+τ)表示相空間重構后最大放電量和延遲時間τ得到的總放電量。

圖6 PD時間序列的Poincare截面Fig.6 Poincare sections of the time series of PD

結果顯示所有序列的Poincare截面上均是一片具有分形結構的密集點，因此初步分析的結果表明最大放電量qmax和總放電量qn的時間序列具有確定性混沌特征。

4.3 混沌特征提取

采用互信息法[14]計算得到τ =3時可較好地消除人為相關，然后采用Cao氏方法計算嵌入維數m=10。

Laypunovr指數采用適合于小數據量的方法，即小數據量法[17]進行計算。具體步驟如下：

（1）根據以上延遲時間τ和嵌入維數m的計算結果，進行相空間重構

（2）從X1開始計算每個相點Xi的最近鄰點Xj，并限制短暫分離，即

在此之前，收斂了昂揚姿態的王樹林在看電視。他在等辛娜的出浴。眼脧著屏幕，耳朵一直在浴室的響動中。他的手里拿著手機若有所思。很快浴室的水聲停止了，他收起手機，快步來到浴室門外。略一遲疑，伸手擰開了浴室的門，一股香波味兒撲鼻彌香，淡薄的水汽里辛娜正抬腿擦拭，晶瑩的水珠在光潔豐腴的后腰閃耀著誘人的光點。不假思索，王樹林躬身抱起了出水芙蓉，驚得辛娜哎呀一聲一下子攬住了王樹林的脖子。兩條修長白皙的大腿不停在半空踢踏，別有一番情調。

（3）對相空間中的每一對最近鄰點計算k個離散時間步后的距離di(k)，即

式中，n=N-(m-1)τ為重構相空間相點總數。

（4）求出所有di(k)不為零的對數ln(di(k))，并對每一個k，計算基于i的平均值y(k)，即

式中，M是針對某個k值的非零di(k)的數目。

（5）運用最小二乘法計算曲線的斜率，該斜率值即為最大Lyapunov指數λ1。

運用上述方法求得 6組樣品的最大放電量和總數電量時間序列的最大Lyapunov指數λ1結果見表 2。

表2 最大Lyapunov指數Tab.2 The maximal Lyapunov exponent

6組樣品 qmax和 qn時間序列的最大 Lyapunov指數λ1均為正數，這也證實了電樹枝局部放電放電量的時間序列具有確定性混沌特性。

表3 關聯維數Tab.3 Correlation dimension

4.4 討論

電樹枝形態可將電樹枝分為枝狀、叢林狀、枝叢混合狀，純枝狀電樹枝一般迅速連續生長，叢林狀電樹枝生長過程一般存在較長時間的停滯期，生長速度較慢，因此通常枝狀電樹枝的危害要大于叢狀電樹枝[2]。分形維是表征電樹枝形狀特征的重要參數，枝狀電樹枝的分形維數小，叢林狀電樹枝分形維數大。通過改變覆蓋圖形的正方形的邊長r來分別求取不同邊長r下覆蓋圖形的方格數，可計算電樹枝的二維分形維數D，具體計算公式如下[17]：

奇怪吸引子的最大 Lyapunov指數和關聯分形維數定量表征了系統的混沌度，最大 Lyapunov指數表征系統的不穩定性，關聯維數表征系統變化的復雜性。試驗得到的電樹枝分形維與最大Lyapunov指數、關聯分形維數的關聯分別如圖7和圖8所示。從圖上可以看到最大 Lyapunov指數、關聯分形維數均有隨著樹枝分形維數的增大而減小的趨勢，但是很明顯總放電量時間序列得到的混沌特征的分散性比較大，分析認為越大的局部放電在樹枝管道中擴展的距離越遠，也更容易到達樹枝尖端[18]，因此較大的局部放電脈沖是誘發電樹枝生長的重要因素，且環境噪聲及檢測系統的靈敏度對較大局部放電的測量結果影響比總放電量要小，即抗噪聲能力要強，所以最大放電量發展的時間序列比總放電量的時間序列更好地表征了電樹枝局部電場的漲落。

圖7 電樹枝分形維與最大Lyapunov指數關系Fig.7 Relationship of fractal correlation dimension and the maximal Lyapunov exponent

圖8 電樹枝分形維數與關聯分形維數關系Fig.8 Relationship of the electrical tree fractal dimensions and correlation dimensions

電樹枝分形維數的增大，最大 Lyapunov指數和關聯維數均減小，這說明叢狀電樹枝的生長過程比較平穩，隨機性較小。分析認為叢狀電樹枝具有更密的樹枝通道，且通道電導更高[17]，空間電荷的轉移會比較容易，這促使電樹枝通道附近的局部電場漲落比較均勻，不容易積累起較多電荷，形成較大的局部放電，而通常較小的局部放電不容易傳播到樹枝末端[18]，從而發展比較平穩，這也是通常叢狀電樹枝生長速度比枝狀電樹枝發展慢的重要原因，電樹枝的混沌特征與其生長機理可以相互印證。

同時，升壓速度對電樹枝生長的影響也進一步的證實了枝狀電樹枝對初始條件的敏感性比叢狀電樹枝要強，即最大Lyapunov指數要大。圖9為12kV和21kV，0.1kV/s和1kV/s升壓速度下電樹枝樣品的形態（橫截面）的對照，在 12kV下由于升壓速度的改變，電樹枝分形維數由 1.22變成 1.37，而21kV下變化較小，由1.83變成1.86，即12kV下枝狀電樹枝對初始條件的敏感性要強于 21kV下的叢狀電樹枝。

圖9 0.1kV/s和1kV/s升壓速度的電樹枝照片Fig.9 Photos of the electrical trees under different boost speed stressing

綜上所述，局部放電的混沌度與電樹枝的形態相關，奇怪吸引子的最大 Lyapunov指數和關聯分形維數隨著樹枝分形維數的增加而減小。

5 結論

（1）XLPE電力電纜電樹枝化試驗結果顯示電樹枝生長存在確定性混沌機理的可能，Poincare截面、最大 Lyapunov指數和關聯分形維數的結果均顯示電樹枝局部放電時間序列具有確定性混沌特征，證實了XLPE電纜電樹枝的生長過程具有確定性混沌特性。

（2）最大放電量和總放電量時間序列的最大Lyapunov指數和關聯分形維數值均表現出隨樹枝分形維數的增大而減小的趨勢，與枝狀和叢狀電樹枝對升壓速度影響敏感性的結果相符。

（3）局部放電時間序列的混沌特征可以作為判斷電樹枝形態特征的參考量，且最大放電量時間序列的表征效果要優于總放電量的時間序列。

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