抓住本質(zhì)特征 用好基本不等式

林清龍

摘要：本題要研究的是ab的取值范圍，可以理解其為研究對(duì)象為“積的形式”，而已知條件中含有的不僅有ab，也有a+b，即既有“積的形式”，也有“和的形式”。

關(guān)鍵詞：基本不等式；教學(xué)；特征

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2012）09-0139-02

在均值不等式a+b≥2■（a、b∈R+）的應(yīng)用中，大多強(qiáng)調(diào)“一正二定三相等”，這指的是在用均值不等式時(shí)該注意的一些要求，本文就不進(jìn)行過多研究。事實(shí)上，問題在于不知何時(shí)該用均值不等式解題，因此，筆者認(rèn)為在學(xué)習(xí)均值不等式的時(shí)候應(yīng)強(qiáng)調(diào)其本質(zhì)特征：①a+b是兩數(shù)“和的形式”；②是兩數(shù)“積的形式”；③均值不等式給出的是兩個(gè)數(shù)“和的形式”與“積的形式”存在著某一不等關(guān)系，即a+b≥2■（a、b∈R+）；④不等式兩邊是同次的。只有抓住其本質(zhì)特征，才能在解題的過程中考慮到應(yīng)用均值不等式。下面用幾個(gè)實(shí)際例題的分析和解答，來談?wù)劸挡坏仁郊捌渥兪降膽?yīng)用。

一、均值不等式的應(yīng)用

例1：已知a+b≥2■（a、b∈R+）。求ab的值范圍。分析；本題要研究的是ab的取值范圍，可以理解其為研究對(duì)象為“積的形式”，而已知條件中含有的不僅有ab，也有a+b，即既有“積的形式”，也有“和的形式”。于是，自然可以產(chǎn)生一種思路，即：利用均值不等式將“和的形式”轉(zhuǎn)化為“積的形式”，這樣，原先的等式就轉(zhuǎn)變?yōu)橹缓胺e的形式”的不等式了。則問題迎刃而解，得到解法如下：

解：∵a，b∈R+ ∴a+b≥2■

∴2=ab+a+b≥ab+■

∴ab+■-2=（■+2）（■-2）≤0

∴■∈［-2，1］ ∵a，b∈R+ ∴■∈（0，1］得。

類似地，也可以輕易解決變式：已知a＞0，b＞0且ab-a-b-1≥0，求a+b的最小值。

例2：求證：log23＞2log32。分析：本題選自于湘教版選修4-5第23頁例3，書中的證明思路為：證明log33=log827＞log916=2log327，引入中間變量，筆者認(rèn)為這個(gè)證法并不利于學(xué)生接受。在思考這道題時(shí)，較多情況下會(huì)應(yīng)用分析法將問題轉(zhuǎn)化為：lg23＞lg2lg4，到了這時(shí)發(fā)現(xiàn)lg2lg4是無法進(jìn)一步進(jìn)行運(yùn)算的，但是考慮到對(duì)數(shù)是可以進(jìn)行加法運(yùn)算lgaM+logaN=loga（MN），因此，此時(shí)可以考慮利用均值不等式將lg2lg4轉(zhuǎn)化成lg2+lg4，則易得證法如下：證明log23＞2log32?圳■＞■?圳lg23＞lg2lg4?圳lg3＞■ ∵■＜■=■＜■=lg3 ∴l(xiāng)g3＞■成立.

綜上命題得證。類似地，也可以應(yīng)用分析法輕易地解決變式：已知0＜a＜1，x2+y=0，求證：loga（ax+ay）≤loga2+■。

例3：設(shè)a3+b3=2，求證：a+b≤2。

本題在湘教版教材選修2-2第128頁、選修4-5第22頁中都是用反證法給予證明，但是筆者認(rèn)為這道題用反證法來證明的思路并不是那么容易想到的。實(shí)際上，大家認(rèn)真分析題目，該題要證的是a+b≤2，可以設(shè)法將已知條件a3+b3=2轉(zhuǎn)化為與a+b有關(guān)的結(jié)論，則可得證法如下：

證明：令t=a+b，由■≤■得：ab≤■

∴2=a3+b3=（a+b）（a2+b2-ab）=（a+b）（（a+b）2-3ab）≥t（t2-■t2）

∴t3≤8?圯t≤2，則命題得證。

二、不等式組■≤■≤■≤■（a，b∈R+）的應(yīng)用

上述不等式組可以由均值不等式輕易證得，但它們的應(yīng)用是相當(dāng)靈活而且常見的。實(shí)質(zhì)上：■=■給出的是“a，b倒數(shù)和”的形式，a2+b2給出的是“a，b平方和”的形式，因此，自然在應(yīng)用該公式時(shí)應(yīng)該產(chǎn)生一個(gè)念頭，即：a，b的“倒數(shù)和”、“積”、“和”、“平方和”之間存在著某一不等關(guān)系，解一道題一旦有了想法，就很容易得到解題思路了。

例4：已知a+b=1，a，b≥0，求證：a4+b4≥■。

分析：已知的是a+b，即“a，b和的形式”，要證的結(jié)論應(yīng)與“a，b四次方和”有關(guān)的，因此考慮多次運(yùn)用公式■≤■進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

證明：∵a，b≥0 ∴a2+b2≥2ab

∴2（a2+b2）≥a2+b2+2ab=（a+b）2 ∴a2+b2≥■

∴a4+b4≥■≥■=■

∵a+b=1，∴a4+b4≥■。

例5：已知a，b∈R+，a+b=1，求證：（a+■）2+（b+■）2

≥■。

解決該題時(shí)，可容易證到：

左邊=a2+■+2+b2+■+2≥2+2+2+2=8。而這樣是無法完成解題任務(wù)，實(shí)質(zhì)上，該證法的錯(cuò)誤在于不等式兩邊的等號(hào)是取不到。實(shí)際上，由于已知a+b=1，我們可以考慮將（a+■）2+（b+■）2轉(zhuǎn)化為a+■+b+■=1+■+■的范圍，再應(yīng)用“a，b倒數(shù)和”與“a，b的和”存在某一不等關(guān)系來解決問題，則得證法如下：

證法一：∵a，b∈R+，∴■+■≥■≥■=4

則由公式a2+b2≥■得：

左邊≥■（a+b+■+■）2≥■（1+4）2=■。

當(dāng)然應(yīng)用均值不等式來證明該題還有一常見證法如下：

證法二：左=a2+b2+■+■+4≥2ab+■+4

=（2ab+■）+■+4

≥2■+■+4=■

綜上：命題得證。很明顯，兩種證法相比較，證法一的思路來得更自然一些。由此可見，如果深入地研究了均值不等式及其變式的本質(zhì)特征，則更易在解題的過程中尋找到解題的思路，希望筆者對(duì)該問題的理解能夠給同學(xué)們提供幫助，甚至將該思想應(yīng)用在選修4-5中對(duì)柯西不等式的應(yīng)用理解也是很有幫助的。