基于泛函變分和變熱物性的層冷傳熱建模

陳水宣，鄒 俊，謝 丹

(1.廈門理工學院機械工程系，廈門 361024;2.浙江大學流體傳動及控制國家重點實驗室，杭州 310027)

在熱軋板材生產與控制中，板材的傳熱溫度控制是核心［1］。層流冷卻(簡稱層冷)是板材熱軋生產過程的關鍵環節之一。建立層冷區高精度的傳熱計算模型，可顯著提高溫度控制精度，從而改變成品板材的內部晶相組織，提高其加工性能、力學性能和物理性能，獲得優質、高韌性、低屈服強度比的鋼板［2］。常規的層冷系統采用指數模型計算平均溫度，忽略熱量在板材厚度方向上的傳導，并且將模型中的關鍵參數(如比熱、熱導率等物性參數)簡化為常數，導致溫度預測時誤差較大，且由于該類溫度模型只是計算板材某斷面的平均溫度，而現場測溫儀所測的是板材表面溫度，二者的差異導致溫度模型在采用實測和歷史數據進行自適應學習時效果不佳［3］。隨著用戶對產品質量要求的提高以及鋼鐵企業開發高附加值板材產品的需要，傳統的代數溫度模型或指數溫度模型已經無法滿足熱軋生產的要求，迫切需要建立適應新產品開發的傳熱計算模型，以實現板材層冷段溫度的精確預測和控制。

1 板材熱軋層冷系統

層冷系統安裝于精軋出口側和卷取之間的層流冷卻輥道上方。寶鋼2050熱軋線層冷系統設計有上下兩側，上方主要為了冷卻板材上表面，下方冷卻板材下表面。軋線側的頂部水箱系統將更易于控制噴水壓力。板材冷卻區分為16架，包括主冷區和精冷區，其中主冷區安裝136個閥門，精冷區安裝24個閥門，共19組水集管。主冷區與精冷區的分界點為精冷區基準點。在精軋出口、層冷冷卻中間輥道和卷取機上各布置紅外測溫儀，其測量點對應于圖1中的FDT、MT和CT。

圖1 層流冷卻系統框圖

2 板材層冷溫度建模

板材層流冷卻是一個時變、非穩態熱傳導過程。板材內部的溫度場不僅隨空間位置的變化而變化，而且還隨時間的變化而變化［5－6］。板材在冷卻過程中的傳熱包括內部熱傳導、與運送輥道接觸熱傳導、對流換熱、熱輻射以及相變放熱。研究表明，層冷過程的傳熱主要是板材的內部熱傳導、板材表面的對流傳熱以及板材內部的相變放熱，其他傳熱過程引起的溫度變化可以忽略不計。板材在整個層冷過程中交替處于水冷區和空冷區。如圖2所示，在空冷區，板材主要是以熱輻射的形式傳熱，而在水冷區則主要以對流換熱的形式傳熱。

圖2 板材層冷過程的溫度變化

忽略板材在長度方向的熱傳導，并考慮相變過程產生的熱量，建立板材沿厚度、寬度方向溫度場控制方程:

式中:T為板材溫度(℃);x、y分別為板材厚度、寬度坐標值(m);t為時間(s);λ為熱傳導率(W/(m·℃));ρ為板材密度(kg/m3);c為時板材的比熱為相變過程的潛熱變化率。

為求解式(1)的偏微分方程，首先需要確定其初始條件和邊界條件。初始條件為板材在精軋出口沿厚度和寬度方向的溫度分布，即

邊界條件為板材層冷下對環境的熱輻射方程(3)和板材與冷卻水的對流換熱方程(4):

式中:hw1、hw2分別為層流水冷段射流沖擊區、穩定膜沸騰區的換熱系數(W/(m2·K));Tw1、Tw2分別為射流沖擊區、穩定膜沸騰區的冷卻水溫度(℃);h∞為空冷段熱輻射換熱系數(W/(m2·K));T∞為環境溫度(℃);σ為斯蒂芬－玻爾茲曼常數;ε為黑度。

基于泛函變分原理計算上述熱傳導偏微分方程，可得到對應的泛函為

值得注意的是，式(5)中的熱傳導率λ、比熱容c和密度ρ是與板材溫度變化相關的物性參數，簡單地當作常數會給模型計算帶來較大的誤差。

將板材橫斷面離散化為E個單元，每單元有m個節點，對于離散化后的每個單元來說則可認為其對應的物性參數為常量，即式(5)的變分式適用于每個單元。離散化后式(5)總泛函I可通過各單元泛函Ie疊加計算，即

取溫度插值函數，單元內任意一點的溫度T(x，y)與單元節點溫度{T}e的關系為 T(x，y)=［N］{T}e，其中［N］=［N1，N2，N3，…，Nm］為基函數矩陣。各單元泛函為

式中:［K］e為單元的剛度矩陣;［C］e為單元的熱傳導矩陣;{P}e為單元的溫度荷載列陣。［K］e、［C］e、［P］e可由下列各式確定:

利用泛函極值的必要條件:

由式(7)和式(11)可得:

使用歐拉方程對溫度T進行時間積分:

式中:θ為歐拉參數，取0.5～1;Δt為時間步長。根據前一時間步p的溫度Tp，通過式(13)可求得后一時間步p+1的溫度值Tp+1。把式(13)代入式(12)得:

求解上式描述的系統方程，即可以獲得節點在各離散時間點上的溫度，從而計算板材沿厚度和寬度方向上的溫度場。

3 變熱物性參數實驗

熱物性參數是表征材料熱物理性能的參數，包括密度、比熱容和熱導率等，是式(1)～(14)的溫度場計算所需重要參數。常規傳熱計算模型中將熱物性參數簡化為常數，而在層冷過程中板材由于受冷卻水沖擊，溫度變化非常劇烈，特別是對于層冷區發生相變潛熱的鋼種，其物性參數呈現明顯的非線性變化。

取鋼種分類表的低、中、高碳鋼為本實驗鋼種，主要化學成分見表1。在寶鋼Gleeble熱模擬實驗機上測量3種鋼種樣本的熱物性參數，測量溫度從室溫到1 000℃，以每50℃為一個采樣點。實驗結果表明，密度可近似為常數，但比熱和熱傳導隨溫度變化劇烈，如圖3、4所示。

圖3 板材比熱隨溫度變化

圖4 板材熱導率隨溫度變化

由圖3可見，在720℃附近比熱產生了明顯的波動。這是由于板材在層冷過程中產生了相變，相變過程中奧氏體向鐵素體、珠光體轉變過程的熱焓采用多項式回歸［9］:

相變過程各相的物性參數為［9］:

式中:cα、cγ、cp分別為奧氏體、鐵素體和珠光體的比熱(J/(kg·℃));λ為熱導率(W/(m·K))。

溫度場計算時以鋼種為索引號，對比熱和熱導率的實驗數據進行一維溫度線性插值，從而獲得單元節點溫度對應的物性參數值。

4 模型換熱系數反算優化

換熱系數是反映板材與介質之間熱交換能力的重要參數，它與板材規格尺寸、精軋出口溫度、冷卻水溫度和冷卻時間等物理參數有關。它們之間存在著復雜的非線性關系。

板材層冷過程主要分為空冷和水冷2個階段，根據傳熱方式的不同，首先分別建立帶鋼上、下表面的空冷和水冷換熱系數基本計算模型。

上、下表面的空冷換熱系數按式(17)、(18)計算。

其中:σ為斯蒂芬－玻爾茲曼常數;ε為黑度。

上、下表面的水冷換熱系數按式(19)計算:

其中:Hc為當前閥門位置，H為起始閥門位置;Vc、h、Te分別為輥道速度、板材厚度、板材表面溫度;Vc0、h0、Te0為其對應的基準值;k、α、β、γ 為模型系數。

隨著軋制節奏和工藝條件的變更，換熱系數需要進一步修正以滿足長期應用的穩定性和精度。采用牛頓－拉斐森迭代公式，根據層冷實測的表面溫度反算對流換熱系數

式中:h2、h1為設定的對流換熱系數;TC2、TC1為給定h2、h1后的溫度計算值;TM為實測溫度。

5 現場應用驗證

從單卷板材計算和多卷板材連續計算2個方面驗證新層冷溫度模型，分別如圖5、圖6所示。

圖5為模型計算的單卷板材在整個層冷過程中的溫度變化，該板材終軋厚度為6 mm、終軋溫度為881.5℃。圖中由內到外取板材表面、1/4厚度及中間層3個節點觀測其溫度計算值。從圖5中可以看出，板材表面溫度隨外界調節變化最為劇烈。板材進入層冷系統的集管水冷區域后，表面溫度快速下降，并且在集管間隔開的情況下，表面溫度呈現鋸齒形變化態勢，此時與心部溫度相差較大;板材進入空冷區域后，表面溫度和中心部溫度均緩慢地降低，并且由于表面熱流很小、內部熱流較大，板材出現快速返溫的現象，熱量由內部熱傳導至外部，使得鋼板內外溫度趨于一致。經模型計算的卷取處溫度值為388.9℃，而實測溫度為385℃，二者吻合較好。可見，基于泛函變分計算的二維溫度模型較真實地反映了板材在層冷過程的溫度變化。

圖5 板材在層冷過程的溫度變化趨勢預測

圖6為模型進行500條板材的溫度預測計算結果。由圖6可見，新層冷溫度模型計算與實測值吻合良好，模型均方差為10.21℃，相比寶鋼2050熱軋線原層冷系統14.59℃降低了近30%。由于考慮了物性參數隨溫度的變化，特別是在相變區中根據實驗數值確定了變物性參數的擬合模型，因此新的溫度模型特別適用于層冷溫度處于相變區的熱軋先進高強鋼，即熱軋雙相鋼(DP)、相變誘導塑性鋼(TRIP)、多相鋼(MP)等相變強化高強鋼。這對國內鋼鐵企業實現高附加值熱軋高強鋼的物理和機械性能控制是十分有意義的。

圖6 新模型的溫度計算值與實測值對比

6 結論

1)建立以熱輻射和冷卻水對流換熱方程為邊界條件的偏微分熱傳導模型，解決了傳統溫度解析模型只能計算平均溫度的問題，準確地揭示了板材在層冷過程中的溫度變化。

2)基于泛函變分原理進行傳熱方程的離散求解，并且在寶鋼Gleeble熱模擬實驗機上測定3種碳鋼樣本的密度、比熱容和熱導率等熱物性參數隨溫度變化的函數關系。該方法特別適用于層冷過程產生相變的低卷取溫度高強鋼。

3)采用層冷實測溫度反算和優化水冷和空冷換熱系數。結果表明，該方法提高了溫度模型現場應用的穩定性，溫度模型計算值與實測值吻合良好。

［1］A Ramirez Lopez，R Aguilar Lopez，M Palomar Pardave.Simulation of heat transfer in steel billets during continuous casting［J］.International Journal of Minerals，Metallurgy and Materials，2010，17:403 －416.

［2］Isukapalli B，Sankar K，Mallikarjuna Rao A.Gopala Krishna.Prediction of heat transfer coefficient of steel bars subjected to tempcore process using nonlinear modeling［J］.International Journal of Advanced Manufature Technology，2010，47:1159 －1166.

［3］傅新，陳水宣，鄒俊，等.熱軋帶鋼精軋過程的混合溫度模型［J］.浙江大學學報:工學版，2008，42(2):219－223.

［4］孫一康.板材熱連軋的模型與控制［M］.北京:冶金工業出版社，2002.

［5］金茲伯格 V B.板帶軋制工藝學［M］.北京:冶金工業出版社，1998.

［6］Heung Nam Han，Jae Kon Lee，Hong Joon Kim，et al.A model for deformation，temperature and phase transformation behavior of steels on run－out table in hot strip mill［J］.Journal of Materials Processing Technology ，2002，128:216－225.

［7］Serajzadeh S，Taheri A K，Nejati M，et al.An investigation on strain inhomogeneity in hot strip rolling process［J］.Journal of Materials Processing Technology，2002，128:88－99.

［8］Ken-ichiro Mori，Naohiro Oketani.Prediction of coiling conditions of plate in coilbox by controlled FEM simulation［J］.International Journal of Machine Tools ＆ Manufacture，1999，39:403 －413.

［9］Siamak Serajzadeh.Prediction of temperature distribution and phase transformation on the run-out table in the process of hot strip rolling［J］.Applied Mathematical Modelling，2003，27:861 －875.

［10］Darken L S，Gurry R W.Physical Chemistry of Metals［M］.New York:McGraw-Hill，1953.