基于Markov過程的逆向物流回收量預測

陳義華，許慶春

(重慶大學 數學與統計學院，重慶 400044)

近年來，隨著市場競爭的日益激烈以及國家對環境保護的法律強制要求，國內外許多企業開始把有效管理顧客退貨和廢舊產品回收作為一種新的競爭方式和降低成本的有效途徑。學者們把這種物品逆向流動的供應鏈稱之為逆向供應鏈，以與傳統正向供應鏈相區別。與正向供應鏈相比，逆向供應鏈具有系統高度復雜性、系統目標多樣性、系統供需失衡性、系統匯聚性等4個特點。回收產品在回收時間、回收質量和數量等方面具有很大的不確定性［1］，而對這種不確定性進行預測的方法的合理性和精確性，直接關系到產品回收設施能力的規劃和產品再制造庫存管理的優化與控制，因此如何及時、準確地進行產品回收預測成為實施逆向物流的重要前提。影響產品回收量的主要因素有產品的相對生命周期、產品的回收途徑、產品的銷售量、消費者的購買行為等。在過去的研究中，學者們在對產品回收預測的研究中主要是假設產品的需求和返回服從獨立的泊松分布或者正態分布［2－3］。謝家平等［4］運用隨機網絡的相關理論構建了以生產廠商為回收主導的廢舊電器產品回收隨機網絡預測模型。此外還有學者［5－6］對灰色系統模型進行了改進，并把模型應用到了回收量的預測中。

Markov鏈建模具有很強的實用性，可以被用于諸多研究領域來解決狀態轉移問題［7］，包括用于回收產品的庫存管理［8］。于洋等［9］應用灰色Markov鏈改進預測方法，對鐵路集裝箱中心站貨運量的發展趨勢進行了預測。謝家平［10］通過對逆向回收產品的不同狀態的界定，剖析其狀態轉移過程，然后根據Markov鏈的原理，構建了一個不同狀態下的轉移方程，在給定的初始狀態下，預測某一時期期末所處不同狀態的回收產品數量。本文在文獻［10］的基礎上考慮回收的產品經處理后會有2種狀態:一是轉換成全新的產品;二是有一定的廢棄率，并根據以上考慮建立了預測模型。

1 Markov鏈

事物的未來發展及演變狀態僅僅受事物現在狀態的影響，而與過去的狀態無關，則稱該事物具有Markov性(也稱無后效性)。有限個Markov過程的整體稱為Markov鏈。所謂Markov鏈是一類時間為參數離散，狀態空間為可列集或有限集，且具有Markov性的隨機過程［11］，它可用數學語言表述為:在概率空間(Ω，F，P)上的隨機序列{X(t)，t∈T}，其中參數集 T={0，1，2，3…}，狀態空間 E={0，1，2，3…}。若 X(n)=i就說過程在時刻n處于狀態i。假設每當過程處于狀態i，則在下一時刻將處于狀態j的概率pij是固定的，即過程在下一時刻的狀態僅與當前的狀態有關，而與以前的狀態無關，這一過程稱為Markov過程，其中pij為一步轉移概率。Markov過程按其狀態和時間參數是連續的或離散的可以劃分為3類:

1)時間和狀態都是離散的Markov過程，也稱為Markov鏈。

2)時間連續、狀態離散的Markov過程，也稱純不連續的Markov過程。

3)時間和狀態都是連續的Markov過程。

本文所利用的Markov過程屬于第1種情況。由于逆向物流的特征很好地符合了Markov隨機過程，因此逆向物流的過程是一個比較理想的Markov過程，可以用Markov過程的相關理論對逆向物流系統的回收量進行預測。在利用Markov過程進行回收量預測時最關鍵的是確定產品的狀態轉移概率，一般可從企業長期收集的產品回收數據中總結提煉出產品各狀態間的轉移概率。轉移概率與產品的工藝和質量密切相關，這種概率在長期內是穩定的，所以這種方法比較適用于技術成熟的產品的回收預測。在已知狀態轉移概率后即可對回收量進行預測。

2 廢棄產品回收量預測

本文研究單一產品的回收量預測問題。假設產品的生命周期等分為4個階段，每階段時間長度為t，在同一時間處于各個狀態的產品市場上都有，廠商每隔時間t會對市場上需要回收的產品進行回收，不需要回收的產品直接進入生命周期的下一階段，回收的產品經維修后會有一定的廢棄率和一定的維修率，且維修后產品與新產品無異，在下一階段會以全新產品的形式進入市場。產品的狀態間存在如圖1所示的轉換關系。

圖1 產品的狀態轉換Markov鏈示意圖

圖1中 si(i=1，…，5)為產品不同的狀態，其中s1為全新狀態，s5為廢棄狀態，即不可再利用的狀態。處在狀態s1的產品經過時間t后需要回收的概率為1－p1，其中可修復的概率為p5，廢棄的概率為1－p1－p5，其余產品狀態經過時間t后轉換概率如圖1所示。當產品處在狀態s5時，表示產品已經報廢不可再利用。狀態s5到達了吸收態，也就是產品一旦到達該狀態便被“吸住”不再轉移。所以對圖1所示的產品狀態的轉移概率矩陣可表示為

用pij表示矩陣P的第i行第j列的元素，則pij表示產品由狀態si經過時間t后轉移到sj的概率，且

2.1 回收預測條件假設

1)廠商生產的產品有一定的使用壽命。

2)每隔時間t記為一期，廠商在每一期期末對市場上需要回收的產品進行回收，回收再制造后的產品與新產品無異，即產品進入狀態s1，且在下一期進入市場。

3)每一期始點處市場需要的產品數量已知，且全部被滿足。若在上一期期末回收的產品滿足不了市場的需求，廠商將投放一批新生產的產品;若上一期期末回收的產品大于市場的需求量，廠商可以自行決定對多余的再制造產品的處理方法。

2.2 廢棄產品回收量預測

假設企業首次使用本模型時市場中處于各種狀態的產品數量用行向量表示為，在第 k(k=1，2，…)期期初市場的需求量為qk，在第k(k=1，2，…)期期末經企業回收后修復成全新產品的數量為，則在第k(k=1，2，…)期期初企業需要生產的新產品數量為若，則企業需要投放一批新產品;若，則說明企業在上一期期末經回收后再制造的產品數量大于市場的實際需求量。=(，0，0，0，0)第 1 個數字是的一維行向量。有了上述符號的定義及狀態轉移概率矩陣可得產品的狀態轉移方程:

由式(2)可得第k期需要回收的產品數量為

其中報廢的數量為

將式(5)代入式(1)得到第k期時市場上各種狀態的產品數量的行向量

由式(3)～(5)即可得到企業在每一期需要回收的產品數量、報廢的產品數量和需要生產的新產品數量。

3 實例分析

假設企業在進行預測的期初市場中處于各種狀態的產品數量為 (2 000，4 500，5 000，6 000，0)，狀態轉移概率分別為(0.90，0.75，0.60，0.80，0.05，0.15，0.25)，市場在每一期開始時需要的產品數量分別為 2 000、4 500、5 500、5 000、4 500、4 200。根據這些數據，可以預測在第5期期末企業需要回收的產品數量、報廢的產品數量和第6期是否需要生產全新產品及其生產量。首先根據給出的狀態轉移概率可得產品的狀態轉移概率矩陣

把數據帶入式(6)，使用Matlab編程計算得到在第5期市場中各種狀態的產品數量為:(4 500，4 500，3 712.5，1 822.5，16 023.38)，所以由式(3)得第5期需要回收的數量為 4 882.5，由式(4)得報廢的數量為2 689.88，由式(5)得第6期需要生產的數量為2 007.38。

4 結束語

逆向物流中產品回收數量的不確定性對產品的生產計劃、庫存管理與回收網絡的建立都有重要的影響。本文應用Markov鏈把產品的狀態數量和時間的預測有機地結合在一起，實現了對逆向物流回收量的預測。

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