隨機需求下易變質產品的訂購與定價策略

蘭德新，趙 萌

(武夷學院數學與計算機系，福建武夷山 354300)

在過去的幾十年里，已有不少研究者致力于擴展經典的EOQ模型到包含易變質的情形。例如Ghere和 Schrader［1］通過考慮常數變質而給出了一個簡單的 EOQ 模型，Covert和 Philip［2］以及 Tadikamalla［3］通過考慮變化的變質率而進一步擴展Ghere和Schrader的模型，Shah通過使用具有一般分布的變質率并允許短缺而將所有這些模型進行一般化。許多文獻對允許缺貨、短缺量部分拖后問題做了研究，如文獻［4－5］考慮變質、短缺量部分拖后等因素，建立了單一產品的訂價和批量的庫存模型。文獻［6－7］研究了允許缺貨且帶數量折扣的腐爛物質庫存模型。但在實際的庫存系統中，許多學者考慮了需求是隨機變量的問題，如文獻［8－9］考慮一類需求連續隨機變質物品的庫存模型。文獻［10］采用周期盤點的(T，S)策略，在需求為連續型隨機變量，提前期為0，缺貨量完全延期供給且變質率為常數的情形下，研究了易變質產品的訂購策略。

本文將在上述文獻的基礎上同時考慮拖后率和隨機因素的這類問題，即:當產品發生連續變質時，變質率θ為固定常數;需求率為連續型隨機變量并受產品的銷售價格的影響;允許缺貨，缺貨部分延期供給，拖后率是β(t)=e－kt，k＞0，t是等待時間。最后給出了最優的訂購與定價策略。

1 數學模型的刻畫

考慮一類無限時間范圍內，隨機需求下缺貨部分延期補給的易變質產品的庫存優化模型。采用周期盤點的(T，S)庫存策略，即每隔相同的訂購周期長T，將庫存水平瞬時補充到S。

圖1描述系統的庫存水平的變化狀態，系統從0時刻開始運作，并且假定0時刻庫存水平為S，此后產品以一定的速率連續出售，需求率，其中:p為單位產品的銷售價格;X表示隨機波動量，服從Gamma－分布Γ(λ，k)且λ＞0，k≥2;μ表示X的均值;d(p)=a－bp(其中a代表產品的市場基礎)表示單位時間內的期望需求量，是p的單調遞減函數。由于連續的需求和產品自身的變質使得庫存水平不斷下降，最終假定在τ時刻，庫存水平下降到0;在τ時刻后，繼續到來的需求量拖后補給，拖后率是 β(t)=e－kt，k ＞0，t是等待時間。

圖1 產品的庫存水平變化曲線

令Ix(t)為t時刻且隨機變量X的實現為x時的庫存水平，可以得到微分方程:

由邊界條件Ix(0)=S及Ix(τ)=0求解微分方程(1)及(2)得:

再由式(3)及邊界條件Ix(τ)=0可得

假設購買單位產品所需的可變訂購成本為c，單位產品在單位時間內的庫存成本為h，單位產品的缺貨成本為π，單位產品丟單成本為p－π，則系統在［0，T］時間內各項費用計算如下:

1)總的期望收益

2)期望訂購成本

3)期望庫存成本

4)期望缺貨成本和丟單成本

綜上，庫存系統總的期望利潤函數可表述為:

總期望利潤=總期望收益－(期望訂購成本+期望庫存成本+期望缺貨成本+期望丟單成本)即

本文的庫存模型為

2 模型分析

模型(7)是帶約束條件的非線性規劃問題，本研究的目標是尋找p，s的值，使得庫存系統總的期望利潤NP(p，s)最大。考慮到模型(6)的積分計算相當復雜，而實際應用中變質率0＜θ＜＜1，參數0＜k＜＜1，因此可以保證當x＞q時有，這樣式(6)采用近似計算，對結果影響不太大。由式(6)得

對式(8)的項 e－kT和 e－θT利用泰勒展開，并保留3項，化簡得:

將式(9)中的變量p，s替換為p，q，即得如下形式:

即

將式(11)代人(10)得

故

因為f(x)是Gamma－分布Γ(λ，k)(λ＞0和k≥2)的密度函數，所以式(13)可以化為k次多項式方程，利用Matlab軟件求k次多項式方程(13)的正的近似解且 r≤k。將代人式(11)求出滿足的且 r≤k。比較 NP(pi*，qi*)的大小使NP(pi*，qi*)取得最大的NP(p*，q*)，再與邊界上條件p=c和代人式(10)求得目標函數值最優的NP(c，q1)和進行比較，并取得最大的解(p*，q*)，對應的(p*，s*)即為模型(7)的最優策略。

3 算法與算例仿真

步驟1 模型，即式(10)對p求偏導，并令為，代人式(10)得

由于方程中的f(x)是Gamma－分布Γ(λ，k)(λ＞0，k≥2)的密度函數，所以上述方程可化為k次多項式方程，利用Matlab軟件求k次多項式方程的正的近似解，i，1，2，…，r且 r≤k。將代人式(11)求出滿足的且 r≤k。比較的大小使取得最大的NP(p*，q*)。

步驟3 比較目標函數值NP(p*，q*)與邊界上目標函數值最優的NP(c，q1)和，其中使目標函數值NP(p，q)達到最大的(p*，q*)對應的(p*，s*)即為模型的最優訂購策略。

為了便于驗證和說明此庫存系統的模型，本文給出模型中涉及到的隨機變量X的概率密度函數和各種參數的取值，設隨機變量X的密度函數為

參數 T=10，c=100，θ=0.01，k=0.02，π =80，h=20，d(p)=500 －0.5p，經過計算式(13)化為

其近似解q*≈3.795，將q*≈3.795代入式(11)得方程:

其近似解 p*=522.387 33，此時對應的 s*=4 765.485，NP(p*，q*)=1 149 879.21。

而邊界上目標函數值NP(100，q1)和 NP(1 000，q2)均小于NP(p*，q*)，通過比較我們得到最優訂購策略(p*，s*)=(522.387 33，4 765.485)。

4 結束語

本文針對隨機波動量為一類Gamma－分布Γ(λ，k)(λ＞0，k≥2)時，且短缺量部分拖后的情形下，建立了單一易變質產品的隨機庫存模型。庫存策略為周期盤點的(T，S)策略。采用最小二乘法原理以及泰勒展開對模型進行了分析和近似求解，給出求解其最優的訂購策略的算法步驟，并給出算例進行仿真，得到了訂購的近似最優策略(p*，s*)。還可以考慮庫存策略為連續盤點的(T，S)策略，以及隨機波動量為一般分布及需求率為一般函數的情況和庫存策略為周期盤點的(s，S)策略等進行研究。

［1］Ghare P M，Schrader S F.A model for exponentially decaying inventory［J］.Journal of Industrial Engineering，1963，14:238 －243.

［2］Covert R P，Philip G C.An EOQ model for items with Weibull distribution deterioration［J］.AIIE Transactions，1973，5(4):323－326.

［3］Tadikamalla P R.An EOQ inventory model for items with Gamma distribution［J］.AIIE Transaction，1978，10(1):100 －103.

［4］Abad P L.Optimal pricing and lot sizing under conditions of perishability and partial backordering［J］.Management Science，1996，42:1093－1104.

［5］Abad P L.Optimal pricing and order size for a reseller under partial backordering［J］.Computers and Operations Research，2001，28:53 －65.

［4］Papachristos S，Skouri K.An inventory model with deteriorating items，Quantity discount，pricing and time-dependent partial backlogging［J］.International Journal of Production Economics，2003，83:247 －256.

［5］Shah Y K，Jaiswal M C.An order-level inventory model for a system with constant rate of deterioration［J］.Operations Research，1979，14:174 －184.

［6］莫降濤，徐春明.允許缺貨且帶數量折扣的腐爛物質庫存模型［J］.數學的實踐與認識.2010(5):1－8.

［7］周永務，王圣東.庫存控制理論與方法［M］.北京:科技出版社，2009.

［8］題正義，鄭九龍，張仕偉.需求連續隨機的庫存模型改進［J］.遼寧工程大學學報，2006(2):276－278.

［9］李銀俠，楊茂盛.一類需求連續隨機變質物品的庫存模型［J］.商品儲運與養護，2007(2):31－32.

［10］馮穎，蔡小強，涂菶生，等.隨機需求情形下單一易變質產品庫存模型的訂購與定價策略［J］.南開大學學報:自然科學版，2010(2):106－112.