具視覺美學(xué)形態(tài)的Mandelbrot集合分形圖案

蔡宗文 林建德 溫國勛

?

具視覺美學(xué)形態(tài)的Mandelbrot集合分形圖案

蔡宗文1,2林建德2溫國勛2

1.廈門地震勘測研究中心 2.福州大學(xué)創(chuàng)意產(chǎn)業(yè)研究所

分形圖案具有極高的視覺美學(xué)形態(tài)。該文介紹了Mandelbrot集合分形圖案的生成方法，根據(jù)復(fù)數(shù)平面逃逸時(shí)間算法生成分形圖案，程序設(shè)計(jì)以Visual Basic 2008程序語言及開發(fā)整合環(huán)境為發(fā)展工具，建立一個(gè)具有圖案信息顯示的工作系統(tǒng)。應(yīng)用所發(fā)展的程序，分析不同幕次Mandelbrot集合所生成分形圖案的形態(tài)，并據(jù)此提出色差控制與大色差控制兩種分形圖案的色差控制方法，產(chǎn)生具有極高視覺美學(xué)形態(tài)的分形圖案。

分形圖案 Mandelbrot集合 視覺美學(xué)

0 引言

分形幾何（Fractal Geometry）起源于19世紀(jì)，一些著名數(shù)學(xué)家對連續(xù)不可微曲線進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)了存在一類結(jié)構(gòu)及形態(tài)，與傳統(tǒng)幾何曲線有所不同的“病態(tài)”曲線，諸如Cantor集合、Koch曲線、Peano曲線及Sierpinski集合[1, 2]。到了20世紀(jì)70年代，Mandelbrot[1,2]透過對復(fù)數(shù)平面(Complex Plane)的一個(gè)簡單函數(shù)的迭代研究，得到了令人贊嘆的復(fù)雜平面圖案，稱為Mandelbrot集合。該圖案集合的邊界具有復(fù)雜而精細(xì)的結(jié)構(gòu)，在電腦的計(jì)算精度容許下，對其邊界進(jìn)行任意放大時(shí)，可以得到的局部圖案與整體圖案具有自相似性（Self-Similar），亦即分形集合（Fractal Sets）的自相似性結(jié)構(gòu)[1,2]。1982年，Mandelbrot在其著作《自然界中的分形幾何》中，將這類數(shù)學(xué)問題稱為分形幾何，而這些分形幾何集合則稱為分形藝術(shù)圖案或分形圖案（Fractal Art Pattern or Fractal Pattern）[1-6]。

分形藝術(shù)圖案在裝飾藝術(shù)設(shè)計(jì)、廣告設(shè)計(jì)、服裝設(shè)計(jì)、陶瓷設(shè)計(jì)等設(shè)計(jì)領(lǐng)域中已有部份應(yīng)用[7-14]。應(yīng)用分形幾何理論于藝術(shù)圖案與紡織紋樣設(shè)計(jì)，可以得到一些具有特殊的線條、圖案與色彩的分形藝術(shù)圖案。

1 復(fù)數(shù)平面上的Mandelbrot集合

在眾多的分形模型中，復(fù)數(shù)平面分形系統(tǒng)所生成的分形圖案具有令人心動(dòng)的視覺美學(xué)形態(tài)。圖1為由Mandelbrot集合進(jìn)行迭代計(jì)算后所產(chǎn)生的圖案，圖案的形態(tài)表現(xiàn)出無限細(xì)分、重復(fù)對稱與自相似的分形性質(zhì)，具有極高的視覺美學(xué)形態(tài)。

圖1 Mandelbrot集合分形圖案

1.1 二次Mandelbrot集合

1.2 高次Mandelbrot集合

2 Mandelbrot集合分形圖案生成的程序設(shè)計(jì)

根據(jù)上述Mandelbrot集合的迭代過程，本文發(fā)展Mandelbrot集合的逃逸時(shí)間算法的視窗程序。程序設(shè)計(jì)以Visual Basic 2008程序語言及開發(fā)整合環(huán)境為發(fā)展工具，建立一個(gè)具有圖案信息顯示的工作系統(tǒng)。圖2所示為視窗程序的Mandelbrot集合分形圖案生成環(huán)境，設(shè)置集合控制參數(shù)的輸入項(xiàng)目及三個(gè)按鈕項(xiàng)目：(1)色差繪圖；(2)大色差繪圖；(3)結(jié)束程序。

圖2 Mandelbrot集合分形圖案生成程序界面

圖3 大色差控制方法調(diào)節(jié)Mandelbrot集合分形圖案生成程序界面

表1為復(fù)數(shù)平面上不同冪次的Mandelbrot集合的分形圖案生成，分別以色差控制與大色差控制進(jìn)行圖案生成。由表1可知，不同冪次Mandelbrot集合所生的分形圖案明顯具有不同的構(gòu)造，冪次數(shù)目與圖案的對稱角成正比，具有極高的視覺美學(xué)形態(tài)。

表1 不同冪次Mandelbrot集合所生的分形圖案

3 結(jié)論

自相似性是分形理論的重要特征，分形圖案的生成就是因?yàn)榫哂凶韵嗨菩缘奶卣?，而分形圖案的自相似性就是指圖案的局部與整體間，具有規(guī)則的幾何相似性，或者是不規(guī)則的統(tǒng)計(jì)自相似性，圖案的局部中有其局部，整體與局部間結(jié)構(gòu)不斷重復(fù)與相似，在視覺表現(xiàn)上成為了無限精細(xì)的結(jié)構(gòu)。因此，分形圖案產(chǎn)生強(qiáng)烈的視覺藝術(shù)性，特別是經(jīng)由Mandelbrot集合所生成的分形圖案，形成一種新穎的藝術(shù)風(fēng)格，又與傳統(tǒng)藝術(shù)風(fēng)格一樣具有和諧與對稱的美學(xué)特征，其對稱更是在傳統(tǒng)藝術(shù)僅有的上、下、左、右及中心對稱之外，揭示另一種相似性的對稱表現(xiàn)。本文結(jié)果說明了分形圖案不但具有藝術(shù)美學(xué)性質(zhì)，其自相似的視覺特征與表現(xiàn)，可以作為實(shí)際圖案設(shè)計(jì)的應(yīng)用。

[1] Mandelbrot, B.B. Fractal: Form, Chance, and Dimension [M]. San Francisco: W.H. Freeman, 1977.

[2] Mandelbrot, B.B. The Fractal Geometry of Nature [M]. San Francisco: W.H. Freeman, 1982.

[3] Mandelbrot, B.B., Passoja, D.E., A. Paully. Fractal character of fracture surfaces of metals [J]. Nature, 1984, 308: 721-722.

[4] Falconer, K.J. The Geometry of Fractal Sets [M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1985.

[5] Falconer, K.J. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Application [M]. New York: John Wiley and Sons Press, 1991.

[6] Falconer, K.J. Techniques in Fractal Geometry [M]. New York: John Wiley and Sons Press, 1997.

[7] 屈世顯，羅俊，張建華. 分形圖案與花色設(shè)計(jì)[J]. 紡織基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào)，1994, 7(2): 127-131.

[8] 陳有卿. 分形藝術(shù)與服裝面料圖案設(shè)計(jì)[J]. 紡織學(xué)報(bào)，2003, 24(3): 88-89.

[9] 楊旭紅，李棟高，顏曉華，張聿. 基于分形L系統(tǒng)的紡織品圖案的自動(dòng)生成[J]. 紡織學(xué)報(bào)，2003, 24(3): 13-15.

[10] 田旭桐. 裝飾圖案[M]. 合肥：安徽美術(shù)出版社，2005.

[11] Lam, K.T., Wen, K.H., Lee Y.Y., Y.L. Hsu. The generation and application of Julia set fractal patterns - the computer generation of Chinese dragon-shaped patterns [C]//. Taiwan, 2009, (1): 13-17.

[12] Lam, K.T., K.H. Wen. Application of Julia set on the generation of Chinese dragon-shaped patterns [J]., 2010, 1(3): 45-54.

[13] Chang, B.J., Ho, M.C., K.T. Lam. Application of Lindenmayer system to generating fractal patterns [J]., 2010, 1(2): 33-40.

[14] Lam, K.T., Y.F. Chang. Design of a fractal art education system [J]., 2010, 1(1): 31-40.