有關對偶定理的證明方法討論
2012-04-29 00:00:00李琳趙臨龍
大觀周刊 2012年4期
摘要：在射影幾何中，從對偶思想出發，研究“三點共線”與“三線共點”的結構形式，使得德薩格三角形定理及其對偶定理具有一種“旋轉”關系，進而給出這類問題求解的“規律性”方法。
關鍵詞：對偶定理 對偶方法 三點共線 三線共點
To accidentally the proof method of the axioms discussion
Lilin Zhao Linlong
Abstract：At project image several what medium， from to accidentally thought to set out， study“three points totally always line” and“three straight lines total[one] point” of to accidentally problem.from to accidentally the thought set out and study “three points totally always line” with the structure form of “three straight lines total[one] point” and make virtuous Sa space triangle axioms and it to accidentally the axioms has a kind of relation of“revolve”ing and then give one this problem solve of“regulation” method.
Keywords:Virtuous Sa space axioms Converse theorem Three points totally always line Three straight lines total[one] point
在射影幾何中，將一個命題的“點”換成“直線”，同時將“直線”換成“點”，并保持原有結構關系不變，所得到的新命題與原命題是“互為對偶命題”，并且兩個互為對偶命題有“同真假”性質的對偶原理。[1]
如反映點共線問題與線共點問題的德薩格定理與其逆定理，就是一對互為對偶命題。
德薩格定理 兩個三角形ABC和A′B′C′中，若對應頂點的連線AA′，BB′，CC′共點，則對應邊的交點P=BC×B′C′，Q=CA×C′A′，R=AB×A′B′共線。
德薩格逆定理 兩個三角形ABC和A′B′C′中，若對應定邊的交點P=BC×B′C′，Q=CA×C′A′，R=AB×A′B′， 共線，則對應定點的連線AA′，BB′，CC′共點。
我們依據“對偶原理”，只須對德薩格定理進行證明。
證明：如圖1。
我們以 A、B、C，A′、B′、C′即表示點，又表示這些點的坐標矢量。設三直線AA′，BB′，CC′的公共點為S。由于三點 A，A′，S共線，所以S點的坐標矢量S一定可表示為A和A′的線性組合：
S=αA+α′A′ (α，α′表示組合系數)
同樣有 S=βB+β′B′，
S=γC+γ′C′
比較這三式得
R=αA-βB=-（α′A′-β′B′），
P=βB-γC=-（β′B′-γ′C′），
Q=γC-αA=-（γ′C′-α′A′）
第一式αA-βB=β′B′ -α′A′由左端觀之，知道它代表兩點A和B聯線上的一點；由右端觀之，知道它代表兩點A′和B′聯線上的一點；所以它代表直線AB和A′B′的交點R。其余同理。
由于三點P，Q，R的坐標矢量間有明顯的線性關系式：P+Q+R=0，所以三點P，Q，R共一直線。
例1[2] 在平面上給定兩條直線a和b及不再a和b上的一點P，試問不先定出a和b的交點，如何用直尺作一直線聯結P和這交點？
解：如圖2。
在a和b兩條直線外任取一點O，通過O引三條直線l，m，n，設Q=l×a，R=l×b，R′=n×b，O1=m×PQ，O2=m×PR，p′=O1Q′×O2R′，那么PP′就是所求直線。
證明： 如圖2，若我們選擇△O1QQ′和△O2RR′，對應頂點的連線RQ，O1O2，R′Q′共點于O，根據德薩格定理，這兩個三角形的對應邊的RR′×QQ′，O2R′×O1Q′交點共線，即PP′必然會通過a和b的交點，從而PP′就是所求直線。
若我們選擇△PQR和△P′Q′R′，對應邊的交點O，O1，O2共線，根據德薩格定理的逆定理，所以PP′，QQ′，RR′必共點，亦即PP′必通過a和b的交點。
對例1作進一步討論。在證明中，似乎將圖2的兩個△O1QQ′和△O2RR旋轉90°后，得到兩個△PQR和△P′Q′R′，則定理應用將由德薩格定理變為德薩格定理的逆定理。
由此，我們猜想：對于可用對偶定理之一處理的命題，是否一定存在可以用另一個對偶定理處理的方法，這在數學方法上，是一個值得研究的問題。
例2[3] 如圖3。
在直角三角形Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，E是AC的中點，ED的延長線交AB的延長線于F，求證：AFFD=ACAB
證明：如圖3，記∠DAC=1，∠FAD=2，則根據題意，得∠DAC=∠ABC=1，∠FAD=∠ACD=∠CDE=∠FDB=2，于是，由△FBD～△FDA，得：AFFD=FDFB （1）
①若我們選擇△ABC，則直線DEF為梅涅勞斯線[1]，于是，有結果：
FBFA EAEC DCDB=1FBFA=DBDC AB2AC2 （2）
由（1）和（2），得：
FD2FA2= AB2AC2FAFD=ACAB
②若我們選擇△ACF，則考慮梅涅勞斯定理的對偶定理塞瓦定理[1]，即點D為塞瓦點，于是，有結果：
BFBA EAEC GCGF=1BFBA=GFGC= FAsin2ACsin1=FA#8226;FBAC2 （3）
由（1）和（3），得：
FD2FA2= AB2AC2FAFD=ACAB
對偶證法，為探求命題證明方法提出有益的啟示。
例3[2] 證明三角形垂心、重心、和外心三點共線。
證：如圖4。
設三角形的重心，垂心，外心分別為H、G、L，另設D、E分別為BC、CA邊上的中點，由三角形DEL和ABH可知：DE∥AB，DL∥AH(同垂直于BC)，EL∥BH（同垂直與AC），則三點DE×AB、DL×AH、EL×BH均為無窮遠點，所以共線。.
由德薩格逆定理知三線AD、BE、HL共點.又AD×BE=G，即點G位于直線HL上，所以H、G、L三點共線。
對于德薩格定理的對偶證明，留給有興趣的人們去研究。
參考文獻
[1] 趙臨龍，劉娟.射影幾何對偶原理的優越性[J].2009.重慶科技學院學報(自然科學版)，2010.2:176-177
[2] 朱德祥，朱維宗.高等幾何[M].高等教育出版社，2007.7
[3] 蔣聲.初中幾何妙題巧解[M].上海科技教育出版社，1989.10
