在大學數學教學中滲透數學建模思想的策略研究

摘 要： 本文作者結合自身的教學實踐，介紹了對在大學數學教學中滲透數學建模思想的策略進行研究的必要性，以及在大學數學教學中滲透數學建模思想的具體做法：在概念教學、公式定理證明、實際應用，以及作業與練習中滲透數學建模思想。

關鍵詞： 大學數學教學 數學建模思想 滲透策略

一、引言

20世紀以前，數學主要分為算術、代數、幾何和分析等幾門經典學科。恩格斯在他的《自然辯證法》中論述說：“數學的應用：在剛體力學中是絕對的，在氣體力學中是近似的，在液體力學中已經比較困難了；在物理學中是實驗性的和相對的；在化學中是最簡單的一次方程；在生物學中等于零。”20世紀以后，這種狀況發生了根本性的變化，數學以她前所未有的廣度和深度向其他科學與技術領域滲透，使得數學的應用范圍迅速擴大，正向粒子物理學、計算機科學、生物生命科學、航天技術，以及地質勘探學等領域進軍。國際上一位學者曾經指出：“高技術本質上是數學技術。”21世紀將是科學和工程數學化的世紀。然而，利用數學解決實際科技問題，首先要進行的工作就是建立數學模型，然后才能在此基礎上運用數學理論和方法對實際科技問題進行求解、分析和研究，從而得到相應結論，再返回去解決現實的科技問題。所謂數學模型就是自然或社會現象的某些特征的本質的數學描述。而建立數學模型的過程便是數學建模。由此可見，數學建模是應用數學理論和方法去解決實際科技問題的重要手段和橋梁。因此，在大學數學教學中滲透數學建模思想對培養學生的應用意識和創新技能是非常重要的，也是一種極為重要的教學模式。雖然數學建模及其思想的研究已經引起了許多學者的注意，并且取得了十分豐富的成果[1-8]，相繼編著出版了多部數學建模教材[9-12]，然而，在大學數學教學中對于如何滲透數學建模思想，其策略有哪些的研究卻很少，具體可操作的案例就更少[13-16]。筆者多年指導大學生參加全國大學生數學建模競賽[11]，曾多次獲得國家獎和江西省一等獎，并對在大學數學教學中滲透數學建模思想的策略有了新的認識，下面談談自己的想法與做法。

二、在大學數學教學中滲透數學建模思想的策略

著名數學家懷特海曾說：“數學就是對于模式的研究。”大學數學中的所有概念都有它的現實原型；所有公式定理都是一些具體的數學模型的抽象。大學數學教學本質上就是要讓大學生理解這些現實原型和數學模型，從而掌握相應的數學概念和公式定理。因此，我們在大學數學教學中滲透數學建模思想主要采用了以下四種策略。

首先，在概念教學中滲透數學建模思想。大學數學中的很多概念都是非常抽象的，如：極限、導數、不定積分和定積分等。傳統的教學策略是對所有專業千篇一律的講授同樣的數學理論；筆者則主張分專業，結合專業實際，先給問題，再建立數學模型并努力解決問題，最后抽象出數學概念。如：在工科專業講授極限定義時，筆者先給出與專業有關的實際問題：求半徑為r的圓的面積S；再建立數學模型并解決問題：用正多邊形去逼近圓形，發現正多邊形的邊數越多，邊長就越短，近似效果就越好，正多邊形的邊數n越大，正多邊形的面積S就越接近于圓的面積S，當邊數n無限增大時，正n邊形的面積S就無限接近于圓的面積S；最后抽象出數學概念：設{x}為一數列，如果存在常數a，對任意給定正數ε（不論它多么小），總存在正整數N，使得當n>N時，不等式|x-a|<ε都成立，那么就稱常數a是數列{x}的極限。同樣的內容在經貿專業可以這樣講授：晚上，當你走在馬路上，會發現你的影子時長時短，當你從任何方向走近路燈時，你的影子都會隨著你與路燈距離的接近而越來越短，這種現象反映到數學上就稱為極限。又如在給中文專業的學生講授極限概念時，可以介紹我國古代關于極限的例子：“一尺之槌，日取其半，永世不竭。”

其次，在定理公式證明中滲透數學建模思想。由于高校大學數學課時數有限，傳統的教學策略是要求學生直接記憶大量定理和公式，造成學生對這些定理和公式很難理解，這樣的效果非常不好。實際上，定理和公式都有它實際的自然背景或間接的相關背景，經過抽象之后成為了定理和公式。筆者認為，有效的教學策略應該是：結合數學建模的思想方法，把定理和公式的條件看做是模型假設，根據預先設置的問題情境，引導學生逐步發現這些定理和公式，而不是單純的記住它們。這樣做，不但使學生學到知識，而且讓他們體驗到探索、發現和創造的過程，讓學生產生成就感；同時也讓學生對學習產生興趣。例如：在講授重要極限=1時，先有規律地對因變量x選取不同的值，直到因變量x趨近于0，通過數學計算軟件得出其值；并讓學生觀察這些值的趨勢，發現當因變量x趨近于0時，的值就無限趨近于1。這樣學生便從感官上了解到這個極限的趨勢。然后提供給學生可操作的模式，例如：“上下一致”、“內外一致”、“倒數關系”、“符號一致”等口訣以供學生記憶；在求解具體極限時，便可以利用這些口訣等模式，迅速計算出結果。

再次，在實際應用中滲透數學建模思想。由于高校大學數學課時數有限，傳統的教學策略是簡單講授教材上的較少的一些理論例題以幫助學生理解所學內容。這些做法往往由于理論例題本身就比較抽象，從而學生理解比較困難，加之這種例題數量很少，效果更是大打折扣。筆者認為，有效的教學策略應該是：在教學中應盡量精選一些實際應用例題，進行建模示范；通過具體問題的建模范例，突出數學建模的思想方法，以幫助學生理論聯系實際，進一步加深對所學相關大學數學知識的理解和掌握，并提高學生分析問題和解決問題的能力。例如：在講解完一元函數介值定理后，就可以引進“椅子問題”這個簡單的數學模型，即教師把四腳椅放在一個不平但連續的地面上，學生可以看到通常只有三只腳著地；然而教師將椅子挪動幾次后，學生發現椅子是可以四只腳同時著地的；緊接著，教師給出該問題的數學模型，并運用抽象的介值定理來解釋并證明“椅子問題”。通過解釋與證明，不但使學生看到了如何利用抽象的介值定理來解決生活中的實際問題的方法，開闊了學生的思路，加深了對所學數學知識的理解，而且啟迪了學生如何觀察生活，如何用數學的語言來描述似乎與數學無關的現象，并用數學工具對它進行解釋與證明，培養了學生良好的數學素養。

最后，在作業和練習中滲透數學建模思想。目前在大學數學教材的練習題中，應用方面的題目很少，即使有也是一些條件充分、結果明確的練習題，這不能有效促進大學生知識應用意識和創新能力的提高。筆者認為，有效的教學策略應該是：將教材中一部分練習題的條件減弱或改換，使之成為符合學生認知規律且激發學生探索熱情的簡單的數學建模題。例如：同濟大學出版的《高等數學》第327頁的第6題，可做這樣的修改：如果給出的實際問題中，室內的二氧化碳的含量以一定的速率產生，而其他條件不變又會怎樣呢？如果題目中沒有給出具體數字，只知道空氣的變化率，我們又應該做何假設？又應該如何處理呢？

三、結語

實踐證明，在大學數學中滲透數學建模思想，注重培養學生解決實際問題的能力，是高校教育改革的發展方向。“學”是為了“用”，教師應努力運用各種教學策略，把數學建模的思想方法滲透到大學數學的教學中去。作為新時期大學數學的教育工作者，我們不僅要有扎實的數學素養，還必須努力在大學數學教學中運用各種教學策略以培養學生的數學建模能力和數學素養，為提高新時期大學生的數學素質貢獻自己的力量。

參考文獻

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基金資助：2010年江西省教育科學“十二五”規劃課題（10YB110）；2011年江西宜春市社會科學界規劃課題；2009年江西宜春學院校級教改課題（YCVJG-2009-11）。