由一道概率題引發的思考

2009年江蘇省中考，數學試卷首次由省統一命題，13個市同時進行考試。作為一名中學教師，筆者有幸參加了淮安市的中考閱卷工作，批改了第26題。改完很久，此題還在腦海中縈繞，為了指導今后的教學，筆者特別將思考的內容形成文本，希望能與更多的同行交流。

題目：一家醫院某天出生了3個嬰兒，假設生男生女的機會相同，那么這3個嬰兒中，出現1個男嬰、2個女嬰的概率是多少？

本題屬于基礎題，學生解答情況：準確率低，得分率低。

正確的解題過程主要有兩種，分別介紹如下。

方法一：列舉法，也叫枚舉法。

正確的解題過程是：

答：八種可能，分別為：男男男，男男女，男女男，女男男，男女女，女男女，女女男，女女女。

所以，2男1女的可能性為3/8。

對于這道題目而言，這種方法很容易想到，也容易得出正確答案。可是，在答題時，學生的錯誤很多，主要如下：

典型錯誤一：列舉出四種可能，分別為：

男男男，男男女，女女男，女女女，因此，2男1女的可能性為1/4。

典型錯誤二：列舉出六種可能，分別為：

男男男，男男女，男女男，男女女，女男女，女女女。

或者分別為：男男男，男男女，女男男，男女女，女男女，女女女。

因此，2男1女的可能性為1/3。

典型錯誤三：列舉出八種可能，分別為：

男男男，女女女，男男女，女女男，男女男，女男女，男女女，男女男。

因此，2男1女的可能性為3/8。

挖掘學生錯誤背后的原因：

犯了典型錯誤一的學生列出的四個事件不是等可能的，表明該類學生沒有透徹地理解等可能性的知識，僅僅是機械記憶了課本上的拋硬幣例題。

犯了典型錯誤二的學生列出的六個事件，由于沒有按規律書寫，導致書寫的內容混亂，遺漏了都沒發現。

犯了典型錯誤三的學生列舉出的八種可能沒有條理性，造成了有的答案重復、有的答案遺漏，表明該類學生條理性不強，解題習慣不好。

對今后的教學的指導意義：

以上三種典型錯誤提醒老師，在與學生一起學習《概率》內容時，一定要讓學生去體會和理解什么是等可能性事件，而不是讓學生記住這個題目的答案。例如拋兩枚硬幣事件，當學生得到正正、反反、正反三種情況的時候，教師要引導學生去討論“這三種情況出現的可能性分別為多少？”從而深刻理解概率的等可能性。

方法二：樹狀圖

正確的解題過程是：

答：

第1個孩子：

第2個孩子：

第3個孩子：

做對本題的學生，大部分是用這種方法，因此可以說，如果學生理解了樹狀圖，那么學生就能在本題上得分。可惜也有好多學生出現了錯誤。如：

因此，2男1女的可能性為50%。

挖掘學生錯誤背后的原因：

用樹狀圖來解本題，正確做法應該是：以孩子的出生順序分層，每層以孩子性別分類。犯了以上錯誤的學生是用樹狀圖的形式列舉了幾種可能的情況，他們得到的結果實際上就是八種等可能性中滿足條件的片面的幾種可能。分層和分類的標準都很混亂，該類學生對樹狀圖的實質不夠理解。

對今后的教學的指導意義：

教師在教學該部分內容時一定要讓學生理解分層的目的和依據是什么，每一層內的分類標準又是什么，不能僅僅記住形式，而不掌握其實質。此外，教師還應該引導學生學會嘗試調整分層標準，選擇最佳方案。例如硬幣事件，先讓學生學會畫拋兩枚硬幣的情況，然后用拋三枚硬幣的情況來鞏固、深化和檢查學生的理解情況，同時也要引導學生學會嘗試選擇分層標準。這里最好的分層標準應該是按硬幣拋起的次數。樹狀圖如下：

答：

第一次

第二次

第三次

通過閱卷，筆者在發現問題的同時也進行了一定的思考。希望更多的人能從中受益，在中考的引領下獲得更多課改的新信息。更期待自己在平時的教學中能讓每一位學生都掌握思想和方法，在數學學習中找到更多的樂趣。2009年江蘇省中考，數學試卷首次由省統一命題，13個市同時進行考試。作為一名中學教師，筆者有幸參加了淮安市的中考閱卷工作，批改了第26題。改完很久，此題還在腦海中縈繞，為了指導今后的教學，筆者特別將思考的內容形成文本，希望能與更多的同行交流。

題目：一家醫院某天出生了3個嬰兒，假設生男生女的機會相同，那么這3個嬰兒中，出現1個男嬰、2個女嬰的概率是多少？

本題屬于基礎題，學生解答情況：準確率低，得分率低。

正確的解題過程主要有兩種，分別介紹如下。

方法一：列舉法，也叫枚舉法。

正確的解題過程是：

答：八種可能，分別為：男男男，男男女，男女男，女男男，男女女，女男女，女女男，女女女。

所以，2男1女的可能性為3/8。

對于這道題目而言，這種方法很容易想到，也容易得出正確答案。可是，在答題時，學生的錯誤很多，主要如下：

典型錯誤一：列舉出四種可能，分別為：

男男男，男男女，女女男，女女女，因此，2男1女的可能性為1/4。

典型錯誤二：列舉出六種可能，分別為：

男男男，男男女，男女男，男女女，女男女，女女女。

或者分別為：男男男，男男女，女男男，男女女，女男女，女女女。

因此，2男1女的可能性為1/3。

典型錯誤三：列舉出八種可能，分別為：

男男男，女女女，男男女，女女男，男女男，女男女，男女女，男女男。

因此，2男1女的可能性為3/8。

挖掘學生錯誤背后的原因：

犯了典型錯誤一的學生列出的四個事件不是等可能的，表明該類學生沒有透徹地理解等可能性的知識，僅僅是機械記憶了課本上的拋硬幣例題。

犯了典型錯誤二的學生列出的六個事件，由于沒有按規律書寫，導致書寫的內容混亂，遺漏了都沒發現。

犯了典型錯誤三的學生列舉出的八種可能沒有條理性，造成了有的答案重復、有的答案遺漏，表明該類學生條理性不強，解題習慣不好。

對今后的教學的指導意義：

以上三種典型錯誤提醒老師，在與學生一起學習《概率》內容時，一定要讓學生去體會和理解什么是等可能性事件，而不是讓學生記住這個題目的答案。例如拋兩枚硬幣事件，當學生得到正正、反反、正反三種情況的時候，教師要引導學生去討論“這三種情況出現的可能性分別為多少？”從而深刻理解概率的等可能性。

方法二：樹狀圖

正確的解題過程是：

答：

第1個孩子：

第2個孩子：

第3個孩子：

做對本題的學生，大部分是用這種方法，因此可以說，如果學生理解了樹狀圖，那么學生就能在本題上得分。可惜也有好多學生出現了錯誤。如：

因此，2男1女的可能性為50%。

挖掘學生錯誤背后的原因：

用樹狀圖來解本題，正確做法應該是：以孩子的出生順序分層，每層以孩子性別分類。犯了以上錯誤的學生是用樹狀圖的形式列舉了幾種可能的情況，他們得到的結果實際上就是八種等可能性中滿足條件的片面的幾種可能。分層和分類的標準都很混亂，該類學生對樹狀圖的實質不夠理解。

對今后的教學的指導意義：

教師在教學該部分內容時一定要讓學生理解分層的目的和依據是什么，每一層內的分類標準又是什么，不能僅僅記住形式，而不掌握其實質。此外，教師還應該引導學生學會嘗試調整分層標準，選擇最佳方案。例如硬幣事件，先讓學生學會畫拋兩枚硬幣的情況，然后用拋三枚硬幣的情況來鞏固、深化和檢查學生的理解情況，同時也要引導學生學會嘗試選擇分層標準。這里最好的分層標準應該是按硬幣拋起的次數。樹狀圖如下：

答：

第一次

第二次

第三次

通過閱卷，筆者在發現問題的同時也進行了一定的思考。希望更多的人能從中受益，在中考的引領下獲得更多課改的新信息。更期待自己在平時的教學中能讓每一位學生都掌握思想和方法，在數學學習中找到更多的樂趣。