教學(xué)實(shí)踐中就函數(shù)奇偶性問(wèn)題的探討

摘要：函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，也是每年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容之一。它在代數(shù)，三角函數(shù)以及高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；函數(shù)奇偶性

本文就奇偶性的若干性問(wèn)題做一些探討，供教學(xué)研究做參考。

一、關(guān)于函數(shù)的奇偶性的定義

高中新教材定義如下：

（1）一般地，如果對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（-x）=f（x），那么函數(shù)f（x）就稱偶函數(shù)；

（2）一般地，如果對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（-x）=-f（x），那么函數(shù)就稱奇函數(shù)f（x）；

定義說(shuō)明：

上述定義可等價(jià)地?cái)⑹鰹椋簩?duì)于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個(gè)x：

（1）f（-x）=f（x） f（x）是偶函數(shù)；（2）f（-x）=-f（x） f（x） 奇函數(shù)；

理解定義是應(yīng)用概念的前提，在教學(xué)中應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)以下兩點(diǎn)：

（1）定義中要求“對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個(gè)f（-x）±f（x）=0，都有”成立，可見(jiàn)f（-x）必有意義，即-x也屬于f（x）的定義域，即自變量x的取值要保持任意性。于是有，奇（偶）函數(shù)的定義域是一個(gè)對(duì)稱數(shù)集（在數(shù)軸上表示為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)集）。

（2）定義中的等式f（-x）=-f（x）（或f（-x）=f（x））是定義域上的恒等式，而不是對(duì)部分x成立。

二、函數(shù)的奇偶性的幾個(gè)性質(zhì)

（1）對(duì)稱性：奇（偶）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

（2）整體性：奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x都必須成立；

（3）可逆性：f（-x）=f（x） f（x）是偶函數(shù)；

f（-x）=-f（x） f（x）奇函數(shù)；

（4）等價(jià)性：f（-x）= f（x） f（-x）- f（x）=0；f（-x）= -f（x）

f（-x）+ f（x）=0

（5）奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱；

（6）可分性：根據(jù)函數(shù)奇偶性可將函數(shù)分類為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)。

三、函數(shù)的奇偶性的判斷

判斷函數(shù)的奇偶性大致有下列兩種方法：

第一種方法：利用奇、偶函數(shù)的定義，主要考查f（-x）是否與-f（x）、f（x）相等，判斷步驟如下：

①、 定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②、數(shù)量關(guān)系f（-x）=±f（x）哪個(gè)成立；

（ ①、②分別是函數(shù)具有奇偶性的兩個(gè)必要條件，若兩個(gè)條件同時(shí)成立，聯(lián)袂作用，使成為充要條件。）具體步驟如下：

若定義域不對(duì)稱，則為非奇非偶函數(shù)；若定義域?qū)ΨQ，則有成為奇（偶）函數(shù)的可能，到底怎樣，取決于數(shù)量關(guān)系f（-x）=±f（x）怎樣成立？若f（-x）=f（x）成立，則為偶函數(shù)；若f（-x）=-f（x）成立，則為奇函數(shù)；若f（-x）=±f（x）成立，則為既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)；若f（-x）=±f（x）都不成立，則為非奇非偶函數(shù)。

第二種方法：利用一些已知函數(shù)的奇偶性及下列準(zhǔn)則（前提條件為兩個(gè)函數(shù)的定義域交集不為空集）：兩個(gè)奇函數(shù)的代數(shù)和是奇函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的積為偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的積為偶函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)的積是奇函數(shù)。

四、關(guān)于函數(shù)的奇偶性的幾個(gè)命題的判定。

命題1 函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件。

此命題正確。如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)，這一點(diǎn)可以由奇偶性定義直接得出。

命題2 兩個(gè)奇函數(shù)的和或差仍是奇函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和或差仍是偶函數(shù)。

此命題錯(cuò)誤。一方面，如果這兩個(gè)函數(shù)的定義域的交集是空集，那么它們的和或差沒(méi)有定義；另一方面，兩個(gè)奇函數(shù)的差或兩個(gè)偶函數(shù)的差可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，如，可以看出函數(shù)與都是定義域上的函數(shù)，它們的差只在區(qū)間上有定義且，而在此區(qū)間上函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。

五、關(guān)于函數(shù)按奇偶性的分類

由前面可知，全體實(shí)函數(shù)可按奇偶性分為四類：①奇偶數(shù)、②偶函數(shù)、③既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)、④非奇非偶函數(shù)。

六、關(guān)于奇偶函數(shù)的圖像特征

一般地：奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)。

由圖像特征得出結(jié)論：奇函數(shù)對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。（證略）

七、關(guān)于函數(shù)奇偶性的簡(jiǎn)單應(yīng)用

函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，也是每年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容之一，利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值、比較大小，求函數(shù)的解析式，討論函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的值等。現(xiàn)分別說(shuō)明如下：1、利用奇偶性求函數(shù)值；2、利用奇偶性比較大小；3、利用奇偶性求解析式；4、利用奇偶性討論函數(shù)的單調(diào)性；5、利用奇偶性求參數(shù)的值。

（作者單位：河南省寶豐縣第一高級(jí)中學(xué)）