導(dǎo)數(shù)在高考不等式中應(yīng)用的新視角

不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和重要部分，一直是高考考查的熱點(diǎn)與重點(diǎn).而如何處理不等式中“恒成立”問題與“存在成立”問題是不等式中常見的題型，在高考中屢見不鮮.本文通過兩個命題的引入及例題探討破解“恒成立”問題與“存在成立”問題的化歸策略，供參考.

1命題引入

命題1 ①定義在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)f( x )滿足f( x )≤k（k為常數(shù)）恒成立?fmax(x )≤k，x∈[a，b]；

②定義在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)f( x )滿足f( x )≥k（k為常數(shù)）恒成立?fmin(x )≥k，x∈[a，b].

命題2 ①存在x∈[a，b]使得f( x )≤k成立（k為常數(shù)）?fmin(x )≤k，x∈[a，b]；

②存在x∈[a，b]使得f( x )≥k成立（k為常數(shù)）

?fmax(x )≥k，x∈[a，b].

2 典例剖析

例1 已知函數(shù)f( x )=8x2+16x?k，g( x )=2x3+5x2+4x，其中k為參數(shù).

（1）若對任意x∈[? 3， 3]，都有f( x )≤g( x )成立，求k的取值范圍；

（2）存在x∈[? 3， 3]，使得f( x )≤g( x )成立，求k的取值范圍；

（3）對任意x1，x2∈[? 3， 3]，都有f( x1 )≤g( x2)成立，求k的取值范圍；

（4）對任意x1∈[? 3， 3]，存在x2∈[? 3， 3]，使得f( x1 )≤g( x2)成立，求k的取值范圍；

（5）存在x1∈[? 3， 3]，存在x2∈[? 3， 3]，使得f( x1 )≤g( x2)成立，求k的取值范圍.

剖析 （1）這是“恒成立”問題，可以將“對任意x∈[? 3， 3]，都有f( x )≤g( x )成立”轉(zhuǎn)化為“h( x )=f( x )?g( x )≤0對x∈[? 3， 3]恒成立”，故hmax(x )≤0，x∈[? 3， 3].

（2）這是“存在成立”問題，可以將“存在x∈[? 3， 3]，使得f( x )≤g( x )成立”轉(zhuǎn)化為“存在x∈[? 3， 3]使得h( x )=f( x )?g( x )≤0成立”， 故hmin(x )≤0，x∈[? 3， 3].

（3）這也是“恒成立”問題，可以將“對任意x1，

x2

∈[? 3， 3]，都有f( x1 )≤g( x2)成立”轉(zhuǎn)化為“fmax(x )

≤gmin(x )，x∈[? 3， 3]”.

（4）這是“恒成立” 問題與“存在成立” 問題的交匯，可以將“對任意x1∈[? 3， 3]，存在x2

∈[? 3， 3]，

使得f( x1 )≤g( x2)成立”轉(zhuǎn)化為“fmax(x )≤gmax(x )，x∈[? 3， 3]”.

（5）這也是“存在成立”問題，可以將“存在x1∈[? 3， 3]，存在x2∈[? 3， 3]，使得f( x1 )≤g( x2)成立”轉(zhuǎn)化為“fmin(x )≤gmax(x )，x∈[? 3， 3]”.

利用例1所采用的化歸策略，可以極為容易地解決一些高考試題.

例2（2011年高考浙江卷·文21）設(shè)函數(shù)

f( x )=a2lnx?x2+ax，a >0.

（Ⅰ）略；

（Ⅱ）求所有實(shí)數(shù)a，使e? 1≤f( x )≤e2對x∈[1， e]恒成立.注：e為自然對數(shù)的底數(shù).

剖析 （Ⅱ）是“恒成立”問題，可以將“對任意x∈[1， e]，e? 1≤f( x )≤e2”轉(zhuǎn)化為“fmin(x )≥e? 1且fmax(x )≤e2，x∈[1， e]”.

由題意得，f(1)=a?1≥e? 1，即a≥e.

由（Ⅰ）知f( x )在[1，e]上單調(diào)遞增，得

???ffmm

ia

nx

((

xx

))==ff((1e

))

==aa?2

1?，e2+ae.

要使e? 1≤f( x )≤e2對x∈[1， e]恒成立，需且只需 ??

???f

fmm

ia

nx

((

xx

))≥≤ee2?，

1，x∈[1， e]，

解得a =e.

例3 （2010年高考山東卷·理22） 已知函數(shù)

f( x )=lnx?ax+1?xa?1(a∈R).

（Ⅰ）略；

（Ⅱ）設(shè)g( x )=x2?2bx+4，當(dāng)a =14時，若對任意x1∈(0， 2)，存在x2∈[1， 2]，使f( x1 )≥g( x2)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

剖析 求解（Ⅱ）關(guān)鍵在于對“若對任意x1∈(0， 2)，存在x2∈[1， 2]，使f( x1 )≥g( x2)”這句話的理解，學(xué)生在這里容易出錯.

為避免出錯，可將這句話分為兩個層次：

其一，若對任意x1∈(0， 2)，使f( x1 )≥g( x2)，即fmin(x )≥g( x2)，?12≥g( x2)，這實(shí)質(zhì)是一個“恒成立”的問題；

其二，存在x2∈[1， 2]，使?12≥g( x2)成立，然后分離參數(shù)使2b≥x+29x在x∈[1， 2]有解，從而化成2b≥?

??x+29x??

?min

(也可轉(zhuǎn)化為求g( x )=x2?2bx+4在

x∈[1， 2]的最小值，但比較麻煩)這實(shí)質(zhì)是一個“存在成立” 的問題，而高考就是將這兩個問題交匯在一起對考生進(jìn)行考查，以區(qū)分考生綜合分析問題和解決問題的能力.

f′( x )=1x?4

1?4

3

x2

=?x2?44xx2+3=?(x?1

4)x(2x?3).

令f′( x )>0且x >0，由此可知f( x )在(0， 1)上是減函數(shù)，在(1， 2)上是增函數(shù)，

所以對任意x1∈(0， 2)有f( x1 )≥f(1)=?12.

又已知存在x2∈[1， 2]使f( x1 )≥g( x2)，所以

?12≥g( x2)，x2∈[1， 2].

亦即存在x∈[1， 2]，使g( x )=x2?2bx+4≤?12.

由此得2bx≥x2+92，即2b≥x+29x.所以2b≥?

??x+29x??

?min

.

∵x+29x∈??

?1

47，1

21??

?，∴2b≥1

47，即b≥1

87.

故實(shí)數(shù)b的取值范圍是

???1

87，+∞?

??.

3 其它命題的轉(zhuǎn)化與化歸

不等式“恒成立”和“存在成立”問題是有本質(zhì)區(qū)別的，以下命題的充要條件應(yīng)細(xì)心思考，甄別差異，可轉(zhuǎn)化為命題1和命題2，切不可混淆.

命題3 不等式f( x )≤g( x )在x∈D恒成立?hmax(x )≤0(構(gòu)造函數(shù)h( x )=f( x )?g( x )，x∈D).

命題4 存在x∈D使得不等式f( x )≤g( x )成立?hmin(x )≤0(構(gòu)造函數(shù)h( x )=f( x )?g( x )，x∈D).

命題5 對任意x1∈D1，x2∈D2有f( x1 )≤g( x2)

恒成立?fmax(x1 )≤gmin(x2)，x1∈D1，x2

∈D2.

命題6 對任意x1∈D1

，存在x2∈D2使得f( x1 )≤g( x2)成立?fmax(x1 )≤gmax(x2)，x1∈D1，

x2∈D2.

命題7 存在x1∈D1，存在x2∈D2

使得f( x1 )≤g( x2)成立?fmin(x1 )≤gmax(x2)， x1∈D1，x2∈D2.

綜上可知，不等式“恒成立”和“存在成立”是有明顯區(qū)別的，特別是在不等式中出現(xiàn)名詞“任意的”、“存在著”就更要注意，“任意的”可以轉(zhuǎn)化為不等式“恒成立”問題，而“存在著” 可以轉(zhuǎn)化為不等式“存在成立”問題.在近幾年的高考中常把導(dǎo)數(shù)問題融入到了不等式“恒成立”和“存在成立”問題之中，從而考查學(xué)生的綜合應(yīng)變能力，因此在高三復(fù)習(xí)中要引起足夠的重視.