導(dǎo)致解題錯(cuò)誤的原因剖析及防范策略

學(xué)生每次作業(yè)都或多或少有些錯(cuò)誤，且造成錯(cuò)誤的原因是復(fù)雜的.這就要求我們研究導(dǎo)致錯(cuò)誤的原因，對(duì)癥下藥，以課堂為中心改進(jìn)教學(xué)，防范錯(cuò)誤，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成效.

1 忽視概念的實(shí)際背景

數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生有其特定的背景，忽視這一背景就極易導(dǎo)致解題失誤.

例1 設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)F(0， 1)的距離與它到直線l: x+y?1= 0的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是

A.拋物線 B.橢圓 C.雙曲線 D.一條直線

錯(cuò)解 根據(jù)拋物線定義，選A.

剖析 錯(cuò)因是忽視拋物線定義中“點(diǎn)F不在直線l上”的幾何背景.

防范策略 教學(xué)中要重視圓錐曲線圖形產(chǎn)生過程的實(shí)驗(yàn)演示.指出：不同的幾何背景產(chǎn)生不同的軌跡，使學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)每一種具體圓錐曲線的特定幾何背景（如點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離與它到定直線l的距離相等：（ⅰ）當(dāng)點(diǎn)F在l上時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是一條直線；（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)F不在l上時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是拋物線）.從而有效避免此類錯(cuò)誤的發(fā)生.

2 忽視特例

當(dāng)特例不包含于一般情形之內(nèi)時(shí)，如忽視對(duì)特殊情況進(jìn)行具體討論，就會(huì)造成解題疏漏.

例2 過點(diǎn)P(2， 4)作圓C:(x?1)2+(y?2)2=1的切線l，求切線l的方程.

錯(cuò)解 設(shè)切線l的方程為：y?4=k( x?2).

由圓心C(1， 2)到切線l的距離

2

1+?k

k

2

=1，解得k =34，所求切線l的方程為y?4=4

3(x?2)，

即3x?4y+10=0.

剖析 所設(shè)切線l方程蘊(yùn)含限制條件，其前提是斜率k存在.很明顯，點(diǎn)P在圓C外，這樣的切線應(yīng)該有兩條，說明另一條切線的斜率不存在，其方程為x =2.切線l有兩條：3x?4y+10=0以及x =2.

防范策略 教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生重視知識(shí)生成中的一些特殊規(guī)定，加強(qiáng)思維嚴(yán)謹(jǐn)性訓(xùn)練，培養(yǎng)周密思考的習(xí)慣.

3 以一概全

有些數(shù)學(xué)問題有多種結(jié)果，如果只滿足于一種結(jié)果，缺乏全面考慮，就會(huì)造成漏解.

例3 已知長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB =4，CD =2，將該紙片作為一個(gè)圓柱的側(cè)面，求這個(gè)圓柱的體積.

錯(cuò)解 設(shè)底圓半徑為r，則2π?r=4

圓柱的體積V=π?r2?CD=π8.

剖析 此處只考慮了以AB作為底圓周長(zhǎng)的情況，忽視了以CD作為底圓周長(zhǎng)也合乎題意.而當(dāng)2π?r=2時(shí)，V=π?r2?AB=π4.所以圓柱的體積為8

π

或4π.

防范策略 教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生多角度審視命題，探究命題可能蘊(yùn)含的多種情形，就能克服淺嘗輒止，有效防范因考慮片面導(dǎo)致的漏解.

4 忽視公式（定理）成立的條件

教學(xué)中經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，學(xué)生因忽視公式、定理成立的條件，導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果.

例4 已知a >0，b >0，且a+ b =1，求2a+3b的最小值.

錯(cuò)解 ∵a >0，b >0，且a+ b =1.

∴ab≤??? a+2 b?

??

2

=14（1）.又

a2+3b≥2

a6b（2），

所以

a2+3b≥4 6，即

a 2+b3有最小值4 6.

剖析：不等式（1）中“=”成立的條件為a=b=12，不等式（2）中“=”成立的條件為3a =2 b，即a =25，b =53，可見，這兩個(gè)“=”號(hào)不能同時(shí)成立，應(yīng)變換解題途徑.

事實(shí)上，∵a+ b =1 ，∴2a+b3=2(a

a+ b)+3(a

b+ b)

=5+2ab+

3ba≥5+

2 6，當(dāng)且僅當(dāng)3a2=2b2時(shí)“=”成立，故

a2+b3的最小值為5+ 2 6.防范策略：教學(xué)中重視知識(shí)發(fā)生過程的展示，使學(xué)生深刻認(rèn)知公式、定理成立的前提條件，能有效避免此類錯(cuò)誤.

5 混淆“詞義”與實(shí)際含義的差異

忽視“詞義”與實(shí)際含義的差別，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤時(shí)，往往是錯(cuò)而不覺.

例5 生產(chǎn)某種產(chǎn)品100件，其中有2件是次品.現(xiàn)在抽取5件進(jìn)行檢查，其中至少有1件次品的抽法有多少種？

錯(cuò)解：先從2件次品中選出1件，有C12種選法，此時(shí)已確保有1件次品.再?gòu)挠嘞碌?9件中任選4

件，有C499種選法，共有C12? C94 9種不同選法.

剖析：此處錯(cuò)誤十分隱蔽，原因是“至少”一詞惹的禍.詞義的理解似乎沒有什么問題，實(shí)際卻存在重復(fù)計(jì)算的錯(cuò)誤.

防范策略：教學(xué)中可將問題具體化.不妨以a1、a2表示次品，以C1、C2、…、C98表示正品.先取a1，再取C1、C2、C3、 a2與先取 a2，再取C1、C2、C3、

a1

屬于同一種選取方案，它們都在C12? C94

9種選法中.可見，上述解答中含有C22?C9

3 8種重復(fù)選法.正確答案是：C12?C94

9?C22?C398種不同選法.學(xué)生借助具體模型進(jìn)行辨析，印記深刻，能有效避免重蹈覆轍.

6 遺漏題設(shè)條件

解題時(shí)忽視題設(shè)條件的限制，是造成失誤的重要原因之一.

例6 已知雙曲線x2?y2=1的左支上一點(diǎn)P( a，b)到其漸近線的距離等于2，求a+b的值.

錯(cuò)解：∵點(diǎn)P( a，b)在雙曲線x2?y2=1上，∴a2?b2=1…①，由點(diǎn)P到漸近線x?y=0的距離a?2b

=2，得a? b=2… ②，解①、②得a+b=±12.再由點(diǎn)P到漸近線x+y=0的距離a+

2b

=2，得a+ b =±2.故a+ b的值為±2 1或±2.

剖析：解答中遺漏了點(diǎn)P在雙曲線左支上這個(gè)條件，即忽視了點(diǎn)P的坐標(biāo)(a，b)應(yīng)滿足：

???aa+? bb <

<00這個(gè)條件，正確結(jié)果是a+ b等于?12或?2.

防范策略：解題時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生沉著冷靜，克服急于求成的情緒，養(yǎng)成逐字逐句細(xì)心讀題的習(xí)慣，就能避免粗心大意導(dǎo)致的失誤.

7 忽視隱含條件

有些問題受到一些隱含條件的制約，如不充分挖掘，常會(huì)導(dǎo)致謬誤.

例7 已知在△ABC中，sinA =153，cosB =54，求sinC的值.

錯(cuò)解：在△ABC中，cosB =45，

∴sinB=35.sinA =153，∴cosA=1 13 2或?1

1

23. sinC=sin(A+ B)=sinAcosB+cosA sinB=5 6 65或?1665.剖析：若sinC =?1 665<0，則C >180°，結(jié)果謬誤.錯(cuò)因是忽視了三角形內(nèi)角和A+ B+ C=180°這個(gè)隱含條件.因?yàn)閏osB =45時(shí)，B >30°；若cosA =?1

12 3

則A >150°，導(dǎo)致A+ B>180°，故正確答案為sinC =5

6

65.

防范策略：解題時(shí)除了要把握題設(shè)中的隱含條件，還要注意知識(shí)體系隱含的制約條件，并作為解題的依據(jù)，做到步步有據(jù)，嚴(yán)謹(jǐn)踏實(shí)，才能有效避免此類錯(cuò)誤的發(fā)生.

8 忽視推理

解題時(shí)忽視嚴(yán)謹(jǐn)推理，依據(jù)錯(cuò)覺想當(dāng)然地得出結(jié)論，也是學(xué)生常犯的毛病之一.

例8 如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB =2，BC =1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC（除端點(diǎn)外）上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD內(nèi)過點(diǎn)D作DK⊥AB，K為垂足，設(shè)AK=t，求t的取值范圍.

錯(cuò)解：

DEFCD H H

E

F

C

A

K

BA

K

B

圖1圖2

設(shè)DF=x，則1

DAKH

=AAHD

，得AK=1+xx2

，

因(1， 2)是函數(shù)

1+xx2

的單調(diào)遞減區(qū)間，所以AK∈?

??52，12??

?，即t的取值范圍是?

??25，12???.

剖析：錯(cuò)因是由DH⊥AF，HK⊥AB想當(dāng)然地得出DK⊥AB所致.事實(shí)上，應(yīng)由平面ABD⊥平面ABC，DK⊥AB，作DH⊥AF，推出KH⊥AF(如圖2)，得AK=1x，所以

2 1

防范策略：教學(xué)中要充分利用學(xué)生解題錯(cuò)誤的生成資源，現(xiàn)場(chǎng)辨析、糾正，適時(shí)列舉反例，引導(dǎo)學(xué)生克服想當(dāng)然的毛病，逐漸養(yǎng)成言之有理、推理有據(jù)的良好思維習(xí)慣.

9 知識(shí)負(fù)遷移

解題時(shí)忽視知識(shí)體系的變化，沿用原有情境下的知識(shí)誤入歧途后，往往還不知錯(cuò)在何處.

例9已知兩個(gè)等差數(shù)列{an }，{bn }的前n項(xiàng)的和分別為Sn和 Tn，若S

Tnn=3

nn++21，求a b55的值.

錯(cuò)解：因S

Tnn=3

nn++21，可設(shè)Sn

=k(3n+1)，

Tn

=k( n+2)(k≠0)，則a5

=S5?S4

=3k，

b5

=T5

?T4

=k，所以a

b55=3.

剖析：這里誤用初中學(xué)過的比例性質(zhì)致錯(cuò)，等差數(shù)列前n項(xiàng)和應(yīng)為n的二次函數(shù)，故k不是常數(shù)，不可以運(yùn)用比例性質(zhì).應(yīng)根據(jù)等差數(shù)列的公式、性質(zhì)得a

b55=b

a11

++ab99

=T

S

9

9=3

9×+9+2 1=1

2

18.也可設(shè)Sn

=

kn(3 n+1)，Tn

=kn( n+2)，求得a5

=S5

?S4

=28k，b5

=T5?T4

=11k，可得正確結(jié)果.

防范對(duì)策：教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)情境變化時(shí)同類知識(shí)的比較，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).及時(shí)列舉反例，揭示差異，防止知識(shí)負(fù)遷移的產(chǎn)生.

10 誤用邏輯關(guān)系

學(xué)生解題時(shí)誤用邏輯關(guān)系導(dǎo)致謬誤的現(xiàn)象也很常見，而且這種錯(cuò)誤不易被發(fā)現(xiàn).

例10各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an }，其前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)a1 =2，公比q =12.若對(duì)任意正整數(shù)k以及正數(shù)c( c≤3)都有S

S

k

k

+1??cc<2恒成立，求c的取值范圍.

錯(cuò)解：由題設(shè)得Sn

=4×???1????21???n

??

??，

化S

S

k

k

+1

??cc<2

為

c

c

?

?[[

4

4?

?

6

4×

×??

????2112

??????

kk

]

]

>0，則對(duì)任意正整數(shù)k都有

c>4? 4×???

12???k

…（1）成立或c<4? 6×?

??12???k

…（2）

成立.

欲使（1）式成立，得c≥4；欲使（2）式成立，c <1.又0

剖析：錯(cuò)因是誤用了邏輯關(guān)系.從邏輯角度考慮，命題“對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，p∨g恒成立”不等價(jià)于命題“對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，p恒成立或?qū)τ谌我鈱?shí)數(shù)x，q恒成立”.以下實(shí)例清楚地說明了這一點(diǎn).

（1）當(dāng)k =1時(shí)，應(yīng)有c <1或c >2；

（2）當(dāng)k =2時(shí)，應(yīng)有0

（3）當(dāng)k =3時(shí)，應(yīng)有c <1 43或c >72；當(dāng)k≥3時(shí)，4? 4×?

??

12???k

≥2

7，4? 6×???12???k

≥1

43.注

意到題設(shè)條件0

S

k

k

+1

??cc<2恒成立的c的范圍是：0

2

防范策略：這是一類極易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，教學(xué)中應(yīng)盡量從直觀出發(fā)，列舉具體實(shí)例，讓學(xué)生感知錯(cuò)因，防范失誤.

以上是學(xué)生解題中的一些常見錯(cuò)誤，有些錯(cuò)誤甚至是交織發(fā)生的.實(shí)踐表明，探究導(dǎo)致解題錯(cuò)誤的原因，有針對(duì)性地改進(jìn)課堂教學(xué)，從源頭上鏟除“禍根”，才能切實(shí)防范錯(cuò)誤，減少失誤，提高教學(xué)效益.