數(shù)學(xué)錯(cuò)解中的定“性”分析

哲學(xué)家波普爾說(shuō)過(guò)：“錯(cuò)誤中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素，發(fā)現(xiàn)的方法就是試誤法.”毛澤東說(shuō)得更好：“錯(cuò)誤和挫折教訓(xùn)了我們，使我們變得聰明起來(lái)了.”那么，如何開(kāi)展“數(shù)學(xué)錯(cuò)解分析”活動(dòng)，讓學(xué)生在自己常犯的錯(cuò)誤和挫折的教訓(xùn)中變得“聰明起來(lái)”呢？這無(wú)疑是值得思考和探索的課題.本文試圖通過(guò)解題活動(dòng)中所必須遵循的統(tǒng)一性、特殊性、確定性、抽象性、等價(jià)性和直觀性等問(wèn)題的分析與探討，力求為改變教學(xué)方法、提高教學(xué)效率、啟迪優(yōu)化學(xué)生的思維與思維的品質(zhì)提供借鑒.

1 忽視“統(tǒng)一性”而導(dǎo)致的錯(cuò)誤

在解題過(guò)程中，要隨時(shí)注意整體與局部的關(guān)系，使整體與局部能夠有機(jī)地統(tǒng)一起來(lái)，避免因忽視統(tǒng)一性而導(dǎo)致的錯(cuò)誤發(fā)生.

例1 已知x >0，y >0，且x+y=1，求2x+1y的

最小值.

錯(cuò)解 由x >0，y >0，知2x+1y≥2

x2y=2

x

2y，

而xy≤x+2y，則2x+1y≥x4+ 2y=4 2，故2x+1y的最小值為4 2.

分析 上述過(guò)程出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因在于忽視了不等式變換過(guò)程中等號(hào)成立的統(tǒng)一性，對(duì)于不等式2x+1y≥2

x2y而言，是當(dāng)且僅當(dāng)2x=1y，即x=2y時(shí)取等號(hào)，而對(duì)于不等式xy≤x+2y來(lái)說(shuō)，是當(dāng)且僅

當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào).二者取值不統(tǒng)一，故2x+1y的最小值并不是4 2.

為了避免此類錯(cuò)誤的發(fā)生，應(yīng)該幫助學(xué)生樹(shù)立整體的思想，即在一個(gè)不等式的整個(gè)變換過(guò)程中，等號(hào)成立的條件應(yīng)該是統(tǒng)一的.要養(yǎng)成檢查等號(hào)成立條件的習(xí)慣，若不能同時(shí)成立，則不能直接運(yùn)用基本不等式，需另辟蹊徑，通過(guò)靈活地變換轉(zhuǎn)化為總能保持等號(hào)成立條件的統(tǒng)一性的方法去解決.

2 忽視“特殊性”而導(dǎo)致的錯(cuò)誤

任何事物都具有普遍性與特殊性，如果我們只注意到事物的普遍性而忽視了事物的特殊性，便會(huì)得出片面性的結(jié)論，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題也是如此.

例2 已知集合P={x | x2+x?6=0}，Q={x | mx?1=0}，若P∩Q=Q，求滿足條件的實(shí)數(shù)m所組成的集合.

錯(cuò)解 ∵x2+x?6=0的兩根為?3和2，mx?1=0的根為

m1.

又∵P∩Q=Q，∴P?Q，則m1=?3或

m1=2，

即m =?13或12，則實(shí)數(shù)m所組成的集合?

???13，

2

1???.

分析 本題容易出錯(cuò)的原因在于忽視了事物的特殊性.事實(shí)上，當(dāng)集合Q為空集時(shí)也滿足P∩Q=Q這一條件.因此，本題的求解應(yīng)分Q為空集和Q不為空集的兩種情形加以討論.此類問(wèn)題是“已知兩個(gè)集合，判斷其包含關(guān)系”的逆問(wèn)題，即“已知含有參數(shù)的集合具有包含關(guān)系，確定集合中所含參數(shù)的取值范圍”.求解時(shí)，要依據(jù)集合間包含關(guān)系的意義，尋找參數(shù)需要滿足的不等式.

為了避免此類錯(cuò)誤的發(fā)生，應(yīng)當(dāng)努力培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，學(xué)會(huì)全面地思考問(wèn)題與討論問(wèn)題，解題之后要進(jìn)行認(rèn)真的檢驗(yàn)，防止漏解或增解.

3 忽視“確定性”而導(dǎo)致的錯(cuò)誤

錯(cuò)解在很大程度上是由于對(duì)某些數(shù)學(xué)概念模糊不清所致.因此，強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解與掌握，是避免產(chǎn)生錯(cuò)解的重要一環(huán)，應(yīng)常抓不懈.

例3 函數(shù)

分析 本題錯(cuò)解的原因是對(duì)三角函數(shù)“依圖識(shí)性”把握不夠到位.究其原因，是由于從sinyx=與的圖象的對(duì)稱中心點(diǎn)的結(jié)論產(chǎn)生了負(fù)遷移.故而產(chǎn)生了錯(cuò)解.

避免發(fā)生此類錯(cuò)誤的策略是需強(qiáng)化對(duì)概念的理解，準(zhǔn)確地把握概念的實(shí)質(zhì)，考前要逐個(gè)檢查概念，是否做到把握概念的實(shí)質(zhì)，真正地理解和掌握.針對(duì)易錯(cuò)或易混淆的概念，建議編擬相應(yīng)的基礎(chǔ)題進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，多次反饋并及時(shí)評(píng)講.

4 忽視“抽象性”而導(dǎo)致的錯(cuò)誤

數(shù)學(xué)問(wèn)題的表達(dá)中往往充滿著許多數(shù)學(xué)符號(hào)，解決它需要學(xué)生具有較強(qiáng)的抽象思維能力.若對(duì)抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)所表示的意義理解不夠深刻，很容易導(dǎo)致錯(cuò)解的發(fā)生.

yf xf x=+23]，

13]，

為了避免此類錯(cuò)誤的發(fā)生，教師應(yīng)對(duì)學(xué)生加強(qiáng)抽象思維能力的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生深刻理解字母所代表的含義，充分發(fā)揮符號(hào)的功能，學(xué)會(huì)對(duì)抽象的符號(hào)進(jìn)行合理和有效地轉(zhuǎn)化.

5 忽視“等價(jià)性”而導(dǎo)致的錯(cuò)誤

數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件有些是顯性的，有些是隱性的，每一道數(shù)學(xué)問(wèn)題或多或少地隱含著一些條件，解題時(shí)要將其挖掘出來(lái)，應(yīng)用于解題過(guò)程之中，才能確保解答的正確性.

例5 已知數(shù)列{ }

bn>?+=

3?.

為了避免此類錯(cuò)誤的發(fā)生，解題時(shí)要認(rèn)真審題，盡可能地把題設(shè)中的隱含條件挖掘出來(lái)，作為解題時(shí)的工具加以應(yīng)用，只有這樣才能避免錯(cuò)解的發(fā)生.

6 忽視“直觀性”而導(dǎo)致的錯(cuò)誤

數(shù)形結(jié)合思想包括“由形思數(shù)”和“由數(shù)思形”兩個(gè)方面.華羅庚先生指出“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”.科學(xué)合理地運(yùn)用或類比運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思

想可以巧解許多題目，但若兩者結(jié)合不到位，就會(huì)使解題陷入困境.

例6 求過(guò)點(diǎn)與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程.

，即

. 136100xy?+=

分析 上述解法的錯(cuò)誤主要在于套用實(shí)系數(shù)一元二次方程根的判別式，忽視了與不存在的兩種情況.產(chǎn)生這樣錯(cuò)誤的原因在于學(xué)生思維僵化，只會(huì)套用，不能靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法.首先，過(guò)點(diǎn)與雙曲線相切的直線應(yīng)有兩條，漏掉了斜率不存在的直線；其次，對(duì)③式使用判別式的前提是二次項(xiàng)系數(shù)，所以上述解法把已知條件直接轉(zhuǎn)化為，是非等價(jià)轉(zhuǎn)化.

為了避免此類錯(cuò)誤的發(fā)生，建議在解題過(guò)程中，強(qiáng)調(diào)畫(huà)出點(diǎn)、直線和曲線在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置關(guān)系示意圖，從而有效地避免漏解的情況.我們還可以進(jìn)一步地引導(dǎo)學(xué)生可以歸納出：直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的幾種情況.同時(shí)，展開(kāi)類比，不難得出直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的幾種情況.

辨析問(wèn)題錯(cuò)解的原因，是想從根本上尋找錯(cuò)解的原因，認(rèn)清什么是錯(cuò)誤的，錯(cuò)在何處，為何產(chǎn)生這種錯(cuò)誤，從而探索避免錯(cuò)誤發(fā)生的對(duì)策以及解決問(wèn)題的正確思路，提高解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的準(zhǔn)確性；通過(guò)辨析，訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性、靈活性、批判性與獨(dú)創(chuàng)性，使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到有效地提升.