“……，ax²-2ax+3≤0”是命題嗎？

前不久，筆者所在的年級備課組統一布置的作業上有這樣一道填空題：若命題“?x∈R，ax2?2ax+3≤0”是假命題，則實數a的取值范圍是.

大多數學生和教師都認同以下的解法(不妨叫方法1)和結果.

解 問題“若命題‘?x∈R，ax2?2ax+3≤0’是假命題，求實數a的取值范圍”，等價于“已知不等式ax2?2ax+3>0對任意x∈R恒成立，求實數a的取值范圍”.

于是有a =0或??

?Δa=>(0?， 2a )2?12a<0，

從而得到結果為：0≤a<3.

但是每個班級中也有一部分學生給出的結果為a∈R，問其理由，幾乎得到同樣的解釋(方法2)：取x =2，此時得到3≤0，而“3≤0”顯然是一假命題也就是說，不管a取什么實數，總存在實數x =2，使命題ax2?2ax+3≤0為假命題，所以a∈R.

碰到這樣的問題，有些教師感到無法解釋，最后認為此題本身有問題，理由是不等式“ax2?2ax+3≤0”中有兩個變量，從而不能判斷“?x∈R，ax2?2ax+3≤0”的真假，所以“?x∈R，ax2?2ax+3≤0”不是命題，既然不是命題，又何來“假命題”之說，所以題目有問題.題目有問題，結果多樣化也就不足為奇了.

這樣的解釋顯然不能讓大多數學生滿意.我們知道，能夠判斷真假的語句叫命題.在數學中，含有變量的語句一般不是命題，如“x >3”、“x2?2x? 3<0”、“x+2y=0”等都不是命題，因為無法判斷它們的真假，這些語句習慣上被稱為開語句.雖然開語句不是命題，但在開語句前面加上約束變量的量詞，那么就成為一個命題了，如“?x∈R，x2?2x?3<0”是真命題，而“?x∈R，x2?2x?3≥0”是假命題.

在本題中，由于不等式“ax2?2ax+3≤0”中有兩個變量，從而只約束一個變量依然不能判斷“?x∈R，ax2?2ax+3≤0”的真假，所以若問“?x∈R，ax2?2ax+3≤0”是否為命題時，答案應是唯一的——它不是命題.

但筆者認為，在本題中，x和a兩個量不都是變量，其中a是常數.我們可以這樣理解，比如當a =1時，“?x∈R，ax2?2ax+3≤0”就成為“?x∈R，x2? 2x+3≤0”，它顯然是一個命題，而且是一個假命題；再比如當a =3時，“?x∈R，ax2?2ax+3≤0”就成為“?x∈R，3x2?6x+3≤0”，即“?x∈R，x2?2x+1≤0”，它顯然也是一個命題，而且是真命題.所以本題的本意就是要求常數a的取值范圍，使“?x∈R，ax2?2ax+3≤0”成為命題，而且是假命題，或者說，當“?x∈R，ax2?2ax+3≤0”是命題而且是假命題時，求實數a的取值范圍.而“?x∈R，ax2?2ax+3≤0”為假命題與它的否定“?x∈R，ax2?2ax+3 > 0”是真命題等價，所以方法1的解法和結果是正確的.

那么，方法2又錯在哪里呢?首先我們可以用上面的例子來說明方法2的結果是錯的，若結果是a∈R，則說明當a取任何實數時，“?x∈R，ax2?2ax+3≤0”恒為假命題.但當a =3時，“?x∈R，ax2? 2ax+3≤0”卻為真命題.事實上，方法2中取x =2時得到3≤0，雖然“3≤0”是一個假命題，但這只能說明不論a為何實數，“?x∈R，ax2?2ax+3 >0”恒為真命題，而不能說明“?x∈R，ax2?2ax+3≤0”恒為假命題，因為這兩個命題之間不是互為否定的關系.

說到這里，筆者又聯想到“利用真值表求參變量范圍”的一類題，比如以下兩例:

例1 已知命題p:方程x2+mx+1 =0有兩個不等的負實根，命題q:方程4x2+4(m?2)x+1 =0無實根.

若p或q為真，p且q為假，求實數m的取值范圍.

例2 已知p: x2?2x?3>0，q: x2?4<0.若p或q為真，p且q為假，求實數x的取值范圍.

兩個例題的形式也值得關注，由于不知m的取值情況而無法判斷“方程x2+mx+1 =0有兩個不等的負實根”的真假，所以它顯然不是命題，而“x2?2x?3>0”是典型的開語句，所以它也不是命題.但我們同樣可以將例1中的m和例2中的x視著常數，這樣隨著常數m和x給定的值的變化，“方程x2+mx+1 = 0有兩個不等的負實根”和“x2?2x?3>0”就可以判斷真假，因而它們就是命題了.