“祖暅原理”及其教學(xué)探究

數(shù)學(xué)是一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分.《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下簡(jiǎn)稱為《課標(biāo)》）在其“課程的基本理念”中強(qiáng)調(diào)指出：“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反應(yīng)數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)，注意體現(xiàn)數(shù)學(xué)的社會(huì)需求，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，以幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀，并使之成為正確的世界觀的組成部分.”以此為引領(lǐng)，本文將對(duì)人教版A版必修2第一章的探究與發(fā)現(xiàn)中介紹的“祖暅原理”進(jìn)行初步的探究.

1 關(guān)于“祖暅原理”

1.1“祖暅原理”的由來

“祖暅原理”在歷史上也稱“祖氏原理”，“冪勢(shì)既同，則積不容異”（原文），“勢(shì)”即是高，“冪”是面積.按照現(xiàn)代的理解就是：“夾在兩個(gè)平行平面（等高）的立體，如果被平行于這兩個(gè)平行平面的平面所截，截得的平面圖形面積總相等，則這兩個(gè)立體的體積相等.”

等積原理的發(fā)現(xiàn)起源于劉徽發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中球的體積公式是錯(cuò)誤的，劉徽通過構(gòu)造“牟合方蓋”證明了他的結(jié)論.兩個(gè)世紀(jì)后，我國(guó)南北朝杰出的數(shù)學(xué)家祖沖子之子祖暅，沿用了劉徽的思想，把目標(biāo)轉(zhuǎn)化為求一個(gè)立方體與其內(nèi)切牟合方蓋的差的部分，再把“差”自然的分成相等的八個(gè)部分，每個(gè)部分成為“小方蓋差”，把問題轉(zhuǎn)化為立方體的八分之一與其“小方蓋差”的關(guān)系，最終求得球體積的正確公式.

1.2“祖暅原理”未能廣為人知的原因

在西方，意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里在1635年出版的《連續(xù)不可分幾何》一書中，提出了等積原理，稱之為“卡瓦列里原理”.他的發(fā)現(xiàn)要比我國(guó)的祖暅晚1100多年.既然我國(guó)早就發(fā)現(xiàn)了等積原理，為什么沒有為西方所知呢？

很重要的一個(gè)原因是當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)語言不夠規(guī)范，世界上還沒有一種統(tǒng)一的數(shù)學(xué)語言.數(shù)學(xué)文化的傳播離不開數(shù)學(xué)語言的精確表達(dá)，再加上當(dāng)時(shí)地域的限制，欠發(fā)達(dá)的科技水平，中西古代數(shù)學(xué)在其民族文化中的差異，導(dǎo)致此原理沒有得到廣泛的傳播.也許這其中也因?yàn)檫@個(gè)原理當(dāng)時(shí)并沒有嚴(yán)格的證明，沒有達(dá)到嚴(yán)格的演繹，不被西方所承認(rèn)，這個(gè)原理的嚴(yán)格證明要用到微積分的知識(shí).

由此筆者感受到現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言的簡(jiǎn)潔性和重要性.作為處于改革浪潮中的數(shù)學(xué)教師，要在“潤(rùn)物細(xì)無聲”中幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)語言，使其注重?cái)?shù)學(xué)語言的規(guī)范化，同時(shí)也讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)語言的無窮魅力.

1.3“祖暅原理”的簡(jiǎn)單應(yīng)用

“數(shù)學(xué)精妙何處尋？紛紜世界有模型”.在求面積或體積的題目中，有時(shí)恰當(dāng)?shù)囊谩白鏁溤怼保墒箯?fù)雜的問題簡(jiǎn)單化.

2.1原理的形成須詳細(xì)介紹

“祖暅原理”是我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)

，是中華民族偉大的數(shù)學(xué)瑰寶，它與兆示著微積分萌芽的“卡瓦列里原理”是可以相互媲美的.由于在教材中只敘述了“祖暅原理”，沒有提及原理的形成過程，但這個(gè)過程恰恰是一個(gè)寶藏，加之當(dāng)今對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和建模能力有一定的要求，因而對(duì)這段歷史不能棄之不講.帶領(lǐng)學(xué)生去挖掘它，可使學(xué)生得到很多數(shù)學(xué)美的享受，讓學(xué)生既可以體會(huì)到數(shù)學(xué)構(gòu)思的創(chuàng)新美，又可以體會(huì)到數(shù)學(xué)推理的完全美；既可以體會(huì)到數(shù)學(xué)定理的和諧美，又可以體會(huì)到數(shù)學(xué)語言的簡(jiǎn)潔美.

如果只講“祖暅

學(xué)對(duì)“祖暅原理”的內(nèi)涵，以及其相應(yīng)知識(shí)的創(chuàng)造過程介紹偏少.缺乏自然的思維方式.教師在講授這段數(shù)學(xué)史時(shí)，應(yīng)尊重歷史，對(duì)原理的形成詳細(xì)介紹，讓學(xué)生了解到知識(shí)是經(jīng)過問題、猜想、論證、檢驗(yàn)、完善，一步一步成熟起來的；從中也可以感受到樸素的定積分思想.筆者認(rèn)為這樣的教學(xué)思路更符合《課標(biāo)》對(duì)數(shù)學(xué)文化的要求.

2.2情境的設(shè)置須豐富恰當(dāng)

豐富的現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生明

思空想”，而是看得見，用得著的，數(shù)學(xué)與生活是密不可分的.例如，在原理引入前，可以安排一個(gè)讓學(xué)生洗撲克牌的實(shí)驗(yàn)，不論怎么洗，如何放置這副撲克牌，它的體積會(huì)變嗎？學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，對(duì)原理有了直觀感知.在學(xué)生了解了原理之后，可以試著讓學(xué)生用“祖暅原理”的形式敘述“夾在兩條平行線間的兩個(gè)平面圖形的面積相等的條件”，并根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式，探究平行四邊形面積公式，進(jìn)而再導(dǎo)出三角形面積公式，為學(xué)生搭建適當(dāng)?shù)哪_手架，為探求體積公式做準(zhǔn)備.

2.3原理的應(yīng)用須貼近生活“抽象”為“具體”，例如

通過原理在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用，化

上課時(shí)的道具：一疊無規(guī)則的作業(yè)本、一副雜亂的撲克，怎樣利用“祖暅原理”求它們的體積（可讓學(xué)生口述）；通過多媒體演示幾何體“青花瓷碗”，此碗可以看成“函數(shù)

y =??與x軸圍成的部分，繞y軸旋轉(zhuǎn)180d得如圖碗口的長(zhǎng)半軸為3，深度2，學(xué)生通過對(duì)“碗”的體積具體求解，對(duì)原理有了更深一步的認(rèn)識(shí).

2.4教學(xué)問題的設(shè)計(jì)須掌握

“祖暅原理”是一個(gè)“探究”性問題，通

生的類比、創(chuàng)新的能力，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)化.在具體的操作中，一定要控制好難度，引導(dǎo)學(xué)生解決遇到的困難，使他們感覺到數(shù)學(xué)的博大精深的同時(shí)，也體會(huì)到數(shù)學(xué)的“妙用”，需要教師對(duì)教材安排深入思考、精心設(shè)計(jì)和充分利用.

很多教師認(rèn)為這部分是

認(rèn)為與高考沒太大的關(guān)系，僅僅只要求學(xué)生去閱讀，有的甚至不聞不問，筆者認(rèn)為這完全背離了教材的編寫目的，這種觀念很顯然是與《課標(biāo)》提倡“數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)文化，數(shù)學(xué)文化應(yīng)盡可能的有機(jī)結(jié)合高中數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，選澤介紹一些對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展有重大作用的歷史史實(shí)和人物”的理念相違背的.而且高考對(duì)于數(shù)學(xué)文化并不是不考，側(cè)重的是數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)方法的遷移能力，而通過“祖暅原理”的教學(xué)，能夠培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力，對(duì)新知識(shí)、新事物的接受和整合能力.

2.5合理的布置一些思

球是由圓旋轉(zhuǎn)而來的，而橢

圓同屬于圓錐曲線，那么橢圓、雙曲線、拋物線饒其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)得到的幾何體體積又該如何計(jì)算呢？為此引發(fā)學(xué)生思考，能不能模仿球的體積的求解方法去求這些幾何體的體積，如果可以該怎么求，不行的話又該如何解決.通過知識(shí)的遷移實(shí)踐，強(qiáng)化對(duì)祖暅原理的理解，慢慢的形成系統(tǒng)化和網(wǎng)絡(luò)化，使學(xué)生的思維更流暢、更深刻、更有效、更具有創(chuàng)造性.由于學(xué)生的思維方式、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)及其心理的差異，所以這部分的要求因人而異.

3 “祖暅原理”的教學(xué)價(jià)值

3.1知識(shí)方面

有助于培養(yǎng)學(xué)

更全面深刻的認(rèn)識(shí)，從中了解到定積分的思想，為以后高數(shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).近年來對(duì)立體體積的考察越來越靈活，“祖暅原理”為學(xué)生在這一方面的實(shí)踐能力提供了很好的素材，是非常值得挖掘、利用的.

3

有助于培養(yǎng)學(xué)

能力.劉徽為了堆求球體體積公式構(gòu)造了一個(gè)全新的幾何體——牟合方蓋，通過牟合方蓋證明了了古人球積公式是錯(cuò)誤的.通過“祖暅原理”的講授，讓學(xué)生理解劉徽的構(gòu)造性思維和創(chuàng)新的思想以及祖暅的奇思妙想，對(duì)“創(chuàng)新”有更深一步的體會(huì).

3.3情感方面

有助于培養(yǎng)學(xué)

實(shí)，實(shí)事求是的數(shù)學(xué)理性精神.激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)熱情.這段數(shù)學(xué)史的兩個(gè)人物，都是中國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家，首先是劉徽那種敢于質(zhì)疑權(quán)威，雖然《九章算術(shù)》在東漢被奉為經(jīng)典著作，但是劉徽并不“迷信”，他敢于提出自己的觀點(diǎn)，并為此構(gòu)造出“牟合方蓋”，雖然最后沒有論證出球的體積求解公式，但是劉徽的發(fā)現(xiàn)對(duì)當(dāng)時(shí)整個(gè)世界的數(shù)學(xué)所產(chǎn)生的影響是巨大的，在兩百多年后，祖暅憑著對(duì)智慧和真理的不懈追求，終于得到了等積原理.在數(shù)學(xué)課上學(xué)生能夠感受到偉人的求學(xué)熱情，確實(shí)能激發(fā)學(xué)生在以后的求學(xué)道路上孜孜不倦的求索.

總之，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史可以了解數(shù)學(xué)的

激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，所以教師在講授“祖暅原理”時(shí)，要尊重歷史，對(duì)于它的由來形成詳細(xì)介紹；通過對(duì)原理的探究，采取符合學(xué)生認(rèn)知心理的教學(xué)策略，必能使學(xué)生了解到“祖暅原理”的真正內(nèi)涵.

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