基于考試的特殊與一般思想研究

自然界中事物發展與變化具有普遍性，而對某個個體來說同時也具有特殊性，兩者相輔相成.特殊與一般的辯證關系是普遍存在、對立統一的，它們之間的關系是哲學的，也是生活的，更是數學的.由特殊到一般，再由一般到特殊的研究數學問題的基本認識的過程就是數學研究的特殊與一般思想.數學教育家波利亞說：“我們應該討論一般化、特殊化和類比這些過程本身，它們是獲得發現的偉大源泉.”

1 特殊與一般思想的考查綜述

從課程內容的呈現來看，教材編寫注重反映數學發展以及人們的認識規律，體現從具體到抽象、特殊到一般的原則.數學思想方法的考查是對考生的數學知識更高層次上的考查，特殊與一般思想是課標課程高考考查的七大數學思想之一.考查時必然以數學知識為載體，來反映考生對數學思想方法的掌握程度.在高考中設計一些集中體現特殊與一般思想的試題，能夠考查考生的數學素養和情感與態度、品質以及探索精神.

2 基于考試的特殊與一般思想的考查回顧

2.1特殊與一般思想的方法性體現

2.1.1 以函數與導數為載體，突出函數意識，體現特殊與一般思想的考查

對于一些函數問題，有時是對特殊函數的特殊研究，而有時是研究函數的一般性質，可由特殊函數，得出一般的結論.這種體現特殊到一般、一般到特殊的思想方法在高考函數考查中屢見不鮮.

例1 (2011年高考福建卷·理9)對于函數

( )sin f xax bxc=++ (其中，a，b∈R，c∈Z )，選取a，b，c的一組值計算(1)f和( 1)f?，所得出的正確結果一定不可能是

A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2

評析 本題本質考查的是對函數奇偶性的掌握.應結合備選項特點，可由(1)( 1)2ffc+?=，聯想到更一般的結論：( )()2f mfmc+?=，因c是整數，故2c是偶數，即可得.

2.1.2 以數列為載體，重視合情推理，體現特殊與一般思想的考查

數列本質上是一種特殊的函數.高考考查時常將數列與函數、不等式等知識交匯，重在歸納創新合情推理，是作為體現特殊與一般思想的主要載體.

例2 (2009年高考湖北卷·理10)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來研究數，例如：

他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數能夠表示成三角形，將其稱為三角形數；類似地，稱圖2中的1，4，9，16…這樣的數成為正方形數.下列數中既是三角形數又是正方形數的是

A.289 B.1024 C.1225 D.1378

評析 本題考查歸納推理，考查考生的觀察能力，體現特殊與一般思想.

2.1.3 以平面向量為載體，注意向量應用，體現特殊與一般思想的考查

向量是近代數學中重要和基本的概念之一，有深刻的幾何背景，是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，經常可通過特殊化研究一般的結論，而其一般性質中也常含有特殊性.

例3 (2011年高考福建卷·理15)設V是全體平面向量構成的集合，若映射:f V→R滿足：對任意向量

，.

其中，具有性質P的映射的序號為____.（寫出所有具有性質P的映射的序號）

評析 本題體現了命題者有較深的高等數學知識背景.考查推理論證能力，需要考生正確理解映射f所具有的性質P的本質涵義，這是一般性質，對結論中特殊映射，需要借助性質P對試題所給出的三個映射進行判斷.體現一般到特殊的思想.

2.1.4 以立體幾何為載體，建立適當模型，體現特殊與一般思想的考查

立體幾何許多涉及演繹推理證明的問題體現一般到特殊的過程.許多空間問題的一般性質可以考慮借助特殊點、特殊位置、特殊圖形等來研究.

例4 (2010年高考浙江卷·理6)設l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是

A.若lm⊥，mα?，則lα⊥

B.若lα⊥，lm//，則mα⊥

C.若lα

//，則lm//

評析 本題考查線線、線面位置關系的判定和性質等知識，可把抽象問題特殊化為正方體（長方體）來研究，體現特殊與一般思想在解題中的靈活應用.

2.1.5 以解析幾何為載體，關注一般性質，體現特殊與一般思想的考查

解析幾何許多結論，特別是圓錐曲線的性質通常具有一般性.可以從特殊入手發現結果，再對一般情況加以求證得解，予以應用.

例5 (2010年高考全國課標卷·理16)已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交C于點D，且2BFFD=

評析 本題考查橢圓方程及其幾何性質、平面向量的坐標運算、向量運算、解三角形、三角形相似等知識.本題是一般橢圓具備的結論，可選擇合適的橢圓方程使運算簡化.考查數形結合思想、函數與方程思想、特殊與一般思想.

此外，在高考客觀題中，還經常出現一些集合、不等式、三角函數、統計與概率等為背景的試題.若能將特殊與一般思想靈活運用于這些問題中，則可節約時間資源，提高解題效率.

2.2特殊與一般思想的過程性體現

2.2.1體現一般規律發現過程的函數背景題

以函數作為背景綜合多個知識點的考查，同時注重多種思想方法的考查是高考數學主觀題常見的形式.其間既有研究方法的一般性，也有發現過程運用的特殊性.

例6 (2010年高考福建卷·理20)（Ⅰ）已知函數+≠，請給出類似于（Ⅰ）（ii）的正確命題，并予以證明.

評析 本題考查函數與導數，定積分求面積等知識.（Ⅱ）運用合情推理得出猜想，并運用平移變換后的面積不變性，得出面積比.考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、特殊與一般思想，考查抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力.要求從一個特殊曲線所具有的性質，推廣到同一類曲線的一般性問題，是特殊與一般思想的過程性體現.

2.2.2 體現一般結論性問題的幾何背景題

解析幾何本身的很多結論具有一般性，高考考查中以探究性問題形式出現的設問形式，常常需要從特殊入手去研究一般結果.運用特殊與一般思想探究問題和解決問題的考查應引起重視.

例7 (2011年質檢福建卷·文22)已知拋物線

:

△的外接圓過點F；

(ii)試探究：若改變點F′的位置，或拋物線C的開口大小，(i)中的結論是否依然成立?由此給出一個使(i)中結論成立的命題，并加以證明.

評析 本題考查拋物線的方程、直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力與創新意識，考查化歸與轉化思想、數形結合思想及特殊與一般思想.

3 基于考試的特殊與一般思想的考查展望

考查特殊與一般思想是考查考生數學素養和學習能力的重要嵌入點，以各種內容為素材，突出考查特殊與一般的思想的試題已成為命題的一個亮點.基于上述認識，下面給出兩例進行展望.

3.1以方法為切入點考查特殊與一般思想

示例1已知函數 mn<，則下列結論正確的是

A. ( )( )f mf n> B. ( )( )f mf n=

C. ( )( )f mf n< D.以上三種情況均有可能

命制意圖 函數性質的考查一直是高考數學的重點之一.本題涉及了函數性質的概念及判定、比較大小、導數在研究函數性質中的應用等知識，考查函數與方程思想、化歸與轉化思想，特殊與一般思想，較好地考查了函數的本質屬性.同時考查考生的綜合素質及數學素養，可以起到選拔區分的功能.本題可追溯至更一般的函數性質問題，也可構造更特殊的問題來設問.如把函數一般化，設定義在R上的偶函數( )f x滿足：對任意的??的大小比較；也可把函數特殊化，如把示例1的題設條件改為“已知函數 f xxbxc=?++是偶函數”.或把函數改成“( )lnf xxx=?”，不考奇偶性，只涉及單調性的考查.甚至可把題目變的更特殊，如比較1 ln1?，

?的大小，則需把這命題一般化，抓住本質，才可快速準確得解.

3.2注重過程展現來考查特殊與一般思想示例2 設函數32

（Ⅰ）求( )f x的極值；

（Ⅱ）若對[ 1 1]x∈?，時，不等式2

( ) f xa<恒成立，求a的取值范圍；

（Ⅲ）當3a =時，關于x的方程( )0f x =有幾個實數根；試探討當實數a取不同值時，方程( )0f x =實數根的個數.

命制意圖 本題考查函數與導數等知識.第（Ⅲ）題的前半段，考查本意絕非三次方程的求解問題，本質意圖是通過對特殊函數方程根的個數研究，來找出一般函數對不同的參數取值時其圖象與性質的變化情況，要應用導數作工具來研究函數性質，進而探討方程根的情況.第（Ⅲ）題主要是從特殊到一般的過程中尋找解決問題的途徑.綜合考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、特殊與一般思想，考查抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力等.要求從一個特殊曲線所具有的性質，推廣到一類曲線的一般性問題，考查考生探究問題發現問題解決問題的能力.