分類思想在數學教學中的滲透和培養

數學學習離不開思維，數學探索需要通過思維來實現。正如數學家喬治·波利亞所說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路。”在初中數學教學中逐步滲透數學思想方法，培養思維能力，形成良好的數學思維習慣，這是數學學習的關鍵所在。

數學分類思想，就是根據數學對象本質屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數學思想。數學分類討論方法，就是將數學對象分成幾類，分別進行討論來解決問題的一種數學方法。分類討論思想，貫穿于整個中學數學的全部內容中。應用分類討論，往往能使復雜的問題簡單化。分類的過程，可培養學生思考的周密性、條理性，而分類討論，又促進學生研究問題、探索規律的能力的提升。

一、把握時機，把分類思想滲透于日常教學中

每個學生在日常中都具有一定的分類知識，如人群的分類、文具的分類等。我們利用學生的這一認識基礎，把生活中的分類遷移到數學中來，在教學中進行數學分類思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。如數的分類、絕對值的意義、不等式的性質等，都是滲透分類思想的好機會。

例如：講授完“負數、有理數”的概念后，及時引導學生對有理數進行分類，讓學生了解到對不同的標準，有理數有不同的分類方法。如可分為：

有理數整數正整數零負整數分數正分數負分數 有理數正有理數正整數正分數零負有理數負整數負分數

又如：兩個有理數的比較大小，可分為：正數和正數、正數和零、正數和負數、負數和零、負數和負數幾類情況來比較，這就突出了學習的重點。

結合“有理數”這一章的教學，反復滲透，強化數學分類思想，使學生逐步形成數學學習中的分類的意識。并能在分類討論的時候注意一些基本原則，如分類的對象是確定的，標準是統一的，如若不然，會出現遺漏、重復等錯誤。如把有理數分為：正數、負數、整數，就是犯分類標準不一的錯誤。在確定對象和標準之后，還要注意分清層次，不能互相交叉。

二、思維的嚴密是解決分類思想的基礎

所謂分類就是選取適當的標準，根據對象的特征，不重復、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一小類的問題加以解答。掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關鍵所在。分類的方法常有以下幾種：

1.根據數學的概念進行分類

例1：化簡：|a+3|+|a-2|

分析：這是按絕對值的意義進行分類，分別以a＜-3、-3≤a＜2和a≥2三種情況來討論，教會學生注意區分界點的無縫特征。

2.根據數學的法則、性質或特殊規定進行分類

例2：解關于x的不等式：ax+3＞2x+a

分析：通過移項，不等式化為（a－2）x>a－3的形式，然后根據不等式的性質可分為a－2＞0、a－2＝0、a－2＜0三種情況分別解不等式。

3.根據圖形的特征或相互間的關系進行分類

如三角形按角分類，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形；直線和圓根據直線與圓的交點個數可分為：相離、相切、相交。在證明圓周角定理時，由于圓心的位置有在角的邊上、角的內部、角的外部三種不同的情況。這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法。它是根據幾何圖形點和線出現不同位置的情況逐一解決的方法。

三、引導探索，循序漸進地提高

初中課本中有不少定理、法則、公式、習題，都需要分類討論，應不斷強化學生分類討論的意識，讓學生認識到這些問題。只有通過分類討論后，得到的結論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現錯誤以致丟失題目的關鍵部分。在解題教學中，通過分類討論還有利于幫助學生概括、總結出規律性的東西，從而加強學生思維的條理性、嚴密性。

一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：一是涉及代數式或函數方程中，根據字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內討論解決問題。二是根據幾何圖形的點和線出現不同位置的情況，逐一討論解決問題。

例3：已知函救y=(m-1)x2+(m-2)x-1（m是實數）。如果函數的圖像和x軸只有一個交點，求m的值。

分析：切入點應選在是何種函數的討論上，不同的函數會有不同結局。

解：當m=l時函數就是一個一次函數y=-x-1，它與x軸只有一個交點（-1，0）。

當m≠1時，函數就是一個二次函數y=(m-1)x2+(m-2）x-1

因而當Δ=(m-2)2+4(m-1)=0時，函數與x軸有唯一交點，所以此時m=0。

由以上的幾個例子，我們可以看出分類討論往往能使一些錯綜復雜的問題變成幾個大塊，然后在各個塊中應用常規的辦法就可以完美地解決，解題思路非常的清晰。當然，一旦這種方法被學生掌握，不但可以激發學生的興趣，而且可以激發學生的變通創造力。

總之，在日常教學中要根植于課本，著眼于提高，注意數學思想的滲透和強化，這將有助于提高學生分析問題、解決問題的能力，有助于提高學生的數學能力和數學水平，從而有助于培養學生良好的思維品質，盡快適應初中階段的學習。