參數方程的應用

在數學解題方法中，參數法是給人印象最深的一種，對參數方程中參數的幾何意義和物理意義的了解，是正確選取參數的前提。正確選取參數，往往能使得一些看似復雜的問題變得簡單。

一、利用參數方程求點的坐標

例1：已知直線l經過點P（1，2），且傾斜角為■，求直線l上到點P的距離為■的點的坐標。

分析：寫出l的參數方程之后，要求點的坐標，關鍵在于對參數t的幾何意義的了解。

解：直線l的參數方程為

x=1+tcos■ x=1+■t （t為參數）

y=2+tstin■ 即y=2+■t

在直線l上到點P的距離為■的點所對應的參數t滿足|t|=■即t=±■，代入l的參數方程，得x=3y=4或x=-1y=0。

所以，所求點的坐標為（3，4）和（-1，0）。

二、利用參數方程求長度

例2：已知橢圓■+■=1，和點P（2，1），過P作橢圓的弦，使P是弦的中點，求弦長。

解：設弦所在的直線方程為：x=2+tcosθy=1+tsinθ（t為參數）

代入橢圓方程，得(2+tcosθ)2+4(1+tsinθ)2=16

化簡：得(cos2θ+4sin2θ)2+4(cosθ+2sinθ)-8=0

P為中點，弦長=|t1-t2|=■=■

=■=■

=■=2■

三、利用參數方程求最值

例3：已知橢圓方程為■+■=1，求它的內接矩形的面積的最大值。

解：橢圓參數方程為x=acosθy=btcosθ(θ為參數)

設橢圓內接矩形的一個頂點為(acosθ，bsinθ)(θ為銳角)

則矩形面積S=4acosθ·bsinθ=2absin2θ≤2ab

∴Smax=2ab

四、利用參數方程求軌跡

例4：已知拋物線y2=x+1，定點A(3，1)，B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上，且有BP：PA=1：2，當點B在拋物線上變動時，求點P的軌跡方程。

分析：設點P的坐標為(x，y)，點B的坐標為（x0+y0），由于AP：BP=2：1，得x=■，y=■

即x0=■，y0=■

由于B(x0，y0)的拋物線y2=x+1上，或y20=x0+1

將②代入③，得(■)2=■+1

化簡得3y2-2x-2y+1=0

即x=■y2-y+■

即x=y2，此軌跡為拋物線。

例5:∠MON=60°，邊長為a的正三角形APB在∠MON內滑動，使得A始終在OM上，且O、P兩點在AB兩側，求P點的軌跡方程。

解：如圖建立直角坐標系，設P（x，y），∠PBN=θ，θ為參數，且0≤θ≤■

∵∠AOB=∠ABP=■

∴∠OAB=∠PBN=θ

在△OBA中，

∵■=■，

∴OB=■

x=OB+acosθ=■asinθ+acosθy=asinθ

消去θ得（x-■y）2+y2=a2

即3x2-4■xy+7y2-3a2=0

而x=■sin(θ+arctan■)(其中0≤θ≤■)

則arctan■≤θ+arctan■≤■+arctan■

∴■≤sin(θ+arctan■)≤1 ∴■≤x≤■a

所求軌跡方程為3x-4xy+7y2-3a2=0，其中x∈[■，■a]

以上幾例說明，利用參數方程求解，只要參數選取恰當，就能起到事半功倍之效，因此，應重視參數方程的應用。