高中數學中涂色問題的解法

涂色問題是高中數學中的一類比較復雜而且重要的問題，高考中多次涉及。這種題目根據條件可分為顏色必須用完和不必用完兩種。根據需要涂色的圖形可分為條狀結構和環狀結構兩種。解決問題的方法也有依次去涂和按所用顏色種數分類討論兩種。作題時只要弄清條件和圖形的結構，再把每種結構下解決問題的方法弄清楚，就可以了。下面我們就用歷年高考題中的涂色問題作為例子。

一、條狀結構

例1：將3種作物種植在5塊試驗田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一種作物，共有多少種種植方法？

分析：從數學角度上來看，這是一個條狀結構且顏色必須用完的問題。我們先用依次來涂的方法，再用所用顏色種數來討論的方法。

解1：只管從左到右依次來種。若三種作物可種完可不種完共有3·2·2·2·2=48種方法，其中只種兩種作物共有C23·2=6種方法，所以共有48-6=42種方法。

解2：三種作物必須種完，那就不必討論顏色種數。（1）把這五塊地分為3，1，1三組。①③⑤必為一組，所以地塊分組只有一種方法，再種上三種作物共有A33=6種方法。（2）把這五塊地分為2，2，1三組。①③同組時，②④也可和⑤同組，有兩種方法，同理①④同組時也有兩種方法，①⑤同組時有1種方法，①自己一組時有1種方法，所以地塊分組共有6種方法，再種有6A33種方法。由（1），（2）知共有42種方法。

可見：條狀結構若不按顏色分類，只管依次去涂即可，非常簡單，只要考慮清楚顏色必須用完還是可不用完即可。若按顏色分類，顏色有幾種就把圖形中的區域分為幾組，再往每組涂色即可，結果即是分組的辦法數與Amn的積。其中n為全部可用顏色種數，m為實際使用顏色種數。

變式：用5種不同的顏色給圖中A，B，C，D四個區域涂色，規定每個區域只能涂一種顏色，相鄰區域顏色不同，求有多少種不同的涂色方法？

分析：因為D區域和其他三區域都相鄰，A和C又不相鄰，所以把D涂完后，就是條狀結構的問題。

解1：依次去涂。有5·4·3·3=180種方法。

解2：按所用顏色種數分類討論。最少用三種顏色，必定A和C同色，對區域分組只有1種辦法。再去涂色共有A35=60種方法。若用四種顏色，有A45=120種方法。共有180種方法。

二、環狀結構

例2：某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分（如圖），現要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有______種。

分析：第一塊和其余所有塊都相鄰，所以它必須獨立用一種顏色。把第一塊涂過后，就是一個環狀結構的涂色問題。有兩種方法：依次去涂和按顏色種數分類討論。

先看依次去涂要注意什么問題。先給①涂有4種方法，還有三種顏色供接下來使用。再給②涂有3種方法，再給③涂有2種方法，再給④涂有2種方法，再給⑤涂有2種方法，但在給⑥涂的時候出了問題，若②和⑤同，⑥有2種方法，若②和⑤不同，⑥有1種方法。這是條狀結構和環狀結構不同的地方。怎么辦呢？要討論②和⑤同還是不同。

解1：先給①涂有4種方法，若②和⑤同，則②和⑤有3種方法，③有2種方法，④有1種方法，⑥有2種方法，共有4·3·2·1·2=48。若②和⑤不同，考慮到③和⑤同不同對④有影響，所以要就③和⑤繼續討論。若③和⑤同，則有4·3·2·2·1=48種方法。若③和⑤也不同，則有4·3·2·1·1=24種方法，綜上所述，共有120種方法。

再看按顏色分類要注意什么問題。

解2：若只用三種顏色，①用了一種，只余兩種，不夠用。所以四種要用完。①用了一種，只余三種。需要把余下的分為三組。兩組兩塊，一組一塊。②④在一組有2種方法，②⑤在一組有2種方法，②自己一組有1種方法。所以分組共有5種方法。再涂色共有5·A44=120種方法。

變式：將一個四棱錐的每個頂點染色，并使同一條棱的兩端異色，若只有五種顏色可供使用，則不同的染色方法總數為( )。

分析：該題相當于如圖的環狀涂色問題。

解1：依次來涂。②④同色有5·4·3·3=180，②④不同色有5·4·3·2·2=240。共有420種方法。

解2：按顏色種類來討論。最少要用3種顏色，有C35×A33=60種方法。用4種顏色，有C54×2A44=240種方法，用5種顏色有A55=120種方法。共有420種方法。

可見：環狀結構由于首尾相接，涂色問題確實麻煩，但它的解決方法仍是兩種。依次去涂時，哪一個步驟對后續步驟有影響，就從哪個步驟開始討論同色還是不同色。按所用顏色種數進行討論時，先把區域分組，有幾種顏色就分為幾組，然后再涂色，結果即是分組的辦法數與Amn的積。其中n為全部可用顏色種數，m為實際使用顏色種數。

總之，涂色問題盡管在高中數學里是比較復雜的一類問題，但只要讓學生掌握住了做題思路，就能快速順利地解決它。