由案例說解析幾何中優化問題的處理

解析幾何是高考的必考內容之一，而學生對解析幾何又往往感到頭疼，所以解析幾何被視作考試成敗的分水嶺。在解析幾何的教學中，優化問題經常見到。很多同學對于此類問題的處理感到困難，本文就這一問題的處理略作介紹。

一、利用圓錐曲線的定義解決問題

例1：點P在橢圓■+■=1上，定點A(2，1)，F為橢圓的右焦點，則|PA|+|PF|的最大值和最小值是___________。

分析：設F1是橢圓的左焦點，連接AF1并延長交橢圓于P1，P2，如圖所示，由橢圓的定義可知，有|PF|+|PF1|=2a=10，所以|PA|+|PF|=10+|PA|-|PF1|。

①若|PA|≤|PF1|，則有|PF1|-|PA|≤|AF1|，所以|PA|-|PF1|

≥-|AF1|。

②若|PA|>|PF1|，則有|PA|-|PF1|

≤|AF1|。所以|PA|+|PF|=10+|PA|-

|PF1|的最小值為10-|AF1|=10-■，即點P為點P1；最大值為10+|AF1|=10+■，即點P為點P2。

小結：例1是利用橢圓的定義進行轉化，若點P不在AF1連線上，則利用三角形兩邊之差小于第三邊，說明當點P是AF1的連線與橢圓的交點時取最值。

二、利用圓錐曲線的統一定義解決問題

例2：在橢圓■+■=1內有一點P(1，-1)，F為橢圓右焦點，在橢圓上有一點M，使|MP|+2|MF|的值最小，則這一最小值為 。

分析：通常第一次接觸這種類型的題目，我們都會設點M的坐標，利用兩點間距離公式和橢圓方程聯立求解。顯然，很繁瑣。我們知道|MF|為橢圓的焦半徑，故可利用圓錐曲線的統一定義有，■=e，其中d為M到右準線的距離，e為橢圓的離心率。所以|MP|+2|MF|=|MP|+2ed=|MP|+d，要使其最小，只要過P作右準線l的垂線，垂足為N，垂線交橢圓于M1，即為使|MP|+2|MF|的值最小的M點。顯然，此時最小值為3。

小結：例2是利用圓錐曲線的統一定義進行轉化為已知圓錐曲線內的點到準線的距離最短。

三、利用對稱性解決問題

例3：已知直線l:3x-y-1=0，在l上求一點P，使得：

（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距離之差的絕對值最大。

（2）P到A（4，1）和C(3，4)的距離之和最小。

分析：如果直接設點P利用距離公式化簡，將相當復雜。所以我們采用對稱的觀點來解決。設A關于l的對稱點為A1，易求得A1（-2，3）。

（1）連接A1B交l于點P，即為所求。易求得P（2，5），因為A關于l的對稱點為A1，所以|PA|=|PA1|，此時有||PA|-|PB||=||PA1|-|PB||=|A1B|。

因為在l上取異于點P的點P1，|P1A|=|P1A1|，又||P1A|-|P1B||=||P1A1|

-|P1B||<|A1B|。

（2）連接A1C交l于點P，即為所求。易求得P(■，■)，此時有|PA|+

|PC|=|PA1|+|PC|=|A1C|，因為在l上取異于點P的點P1，有|P1A|+|P1C|=|P1A1|+|P1C|>|A1C|。

小結：利用點關于直線的對稱點可以很迅速地解決上述問題。另外，通過觀察我們還能得到，兩點在直線的同側，應該是和最小；兩點在直線的異側，應該是差的絕對值最大。

四、利用幾何意義解決問題

（1）利用直線的斜率

例4：已知實數x，y，滿足x2+y2=2，求■的最大值與最小值。

分析：把■看成圓上點（x，y）和點A（-2，-2）之間連線的斜率。如圖，可設過A點與圓相切的直線方程為y+2=k(x+2)（斜率k存在），利用圓心到切線的距離等于半徑，即■=■，得k=2±■，從而得■最大值為2+■，最小值為2-■。

（2）利用兩點間的距離

例5：已知A(-2，0)，B(2，0)，點P在圓(x-3)2+(y-4)2=4上運動，則PA2+PB2的最小值是 。

分析：設P（x，y），則PA2+PB2=(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=2(x2+y2)+8，而x2+y2可看作是圓上點（x，y）到原點距離的平方。又圓上點（x，y）到原點距離的最小值是圓心到原點的距離減去圓的半徑，即■-2=3。所以x2+y2的最小值是9，所以PA2+PB2的最小值是26。

小結：利用直線的斜率與兩點間距離來解決一些問題，可使問題變得簡單，省去了很繁瑣的計算。

解析幾何是高考的必考內容，而優化問題又經常出現在考題中，只要我們掌握以上幾種方法，就能很好地處理這類問題。