淺談高中數學教學中的解題入手點問題

入手點作為解題之始，思維之初，對解題至關重要。教師在教學中不乏對入手點的歸納、提煉、指導、訓練，但學生們缺乏對多入手點的靈活機動的分析、比較、銜接、切換、調整、綜合的處理能力。

一、入手點的“前進性”思維特征與立足長遠入手解題

從教育學分析，解題是一個系統過程。我們在問題分析教學中不能就入手點講入手點，割裂入手點與整體解題的聯系，而應深入地剖析入手點與整體解題的聯系。這種開創性的功能鑄就了入手點統領整個解題的全局性、戰略性地位。

例1：求f(x)＝■的值域。

分析：學生易想到分離常數，得f(x)＝2+■，此時入手于何處？源頭在哪里？不難看到解析式的核心是2x，它能成為入手破題的源頭嗎？請看它的前進性功能：2x∈(0， +∞)?圯2x+1∈(1，+∞）?圯■∈(0，1)?圯■∈(-1，0)?圯f(x)∈(-1，1)

二、入手點的“后退性”思維特征與后退一步解題法

華羅庚先生曾說：“解題要善退，要退到我們熟悉的知識，熟悉的方法，熟悉的起點中來，再以它們為基礎向前探索前進，就能到達綜合創新的彼岸。”

例2：M={a0，a1，a2，a3}，規定ai?茚aj=ak，其中k是i+j被4除的余數。令N={ai|ai?茚ai=a2，ai∈M}，則N的元素為多少。

說明：1.本題考查新運算符?茚，這類題目集中考查學生對新運算符的自主探究、嘗試、理解、創新應用的能力，是近幾年高考的熱點。2.學生總想一蹴而就地理解掌握新符號，但對新事物理解總有一個過程，因此，困難也隨之出現了。3.理解是一個過程，用過程去理解。教學中，要指導學生，理解新符號，“貴”在“退”字，后退到理解的起點入手，再發展深入，就能成功了。

三、入手點解題的階段性特征

事物總是發展變化的，新入手點不斷地引入，帶動解題不斷發展，推動解題走向成功。

例3：已知3a=4b=6c，試探究a、b、c的關系。

分析：已知條件中的a、b、c局于指數位置，看看結論，它指引我們把它們“取”出來，探尋其間的直接的等量關系。

本題的解決呈現階段性特征：

階段一：入手點

分離出a、b、c，令3a=4b=6c=N，得a=log3N，b=log4N，c=log6N

階段二：新入手點

解決當前的首要問題：不同底，換底得：

a=■ b=■ c=■

階段三：新入手點

尋找原始的等量關系：lg6=lg2+lg3

進而：■=■=■

∴■=■+■即為所求。

這樣，不斷發展的入手點依次產生了。

四、入手點的多樣性與多樣性的入手解題法

（一）知識點入手解題法

數學學科的基本知識點是解答數學問題的基石，是理所當然的入手點。每一個數學知識點都有其獨具的特征，獨有的功能，在入手破題時顯示出獨特的魅力。

例4：已知a2+b2=1，c2+d2=4，求ac+bd的取值范圍。

分析本題的條件與結論，它們的結構有明顯的知識特征。

方法一：與三角知識特征相符，入手點：三角換元，令a=cos?琢，b=sin?琢，c=2cos?茁，d=2sin?茁，進而得ac+bd=2cos(?琢-?茁)∈[-2， 2]。

方法二：本題也符合向量內積的知識特征，入手點：引入向量，設：■=(a，b)，■=(c，d)，由已知|■|=1，|■|=2

進而：ac+bd=■·■=|■||■|cos<■，■>∈[-2，2]

兩種解法都顯示出知識點入手解題的巨大魅力。

（二）數學思想（方法、模型）入手解題法

數學思想是數學學科的思維核心，它充滿了數學學科的每一角落，是數學學科最有力的武器。從數學思想入手破題，我們的解題就有了靈魂，有了方向。

例5：已知ax>■x2，x∈[-1，1]，a>0且a≠1，求a的范圍。

分析：（1）本題既考查指數函數ax，又考查二次函數■x2，兩者的解析式不易結合，但兩者的圖像都易獲得，數形結合是入手點一。

（2）本題的指數函數y=ax（a>0且a≠1）具備不確定性，故適于分類討論，即入手點二。

兩大數學思想相結合，分類作圖，即可解得答案。

五、入手點的辯證統一，靈活多變與立體式、交互式、網絡式發展

（一）解剖入手點的功能、作用，它們是入手點相互結合的根源

事實上：（1）定義域的功能是提供保障，保障函數有意義，保障單調性有意義；（2）單調性的分析合成是問題的主體，“同增異減”法則是解題的根本途徑；（3）結合點：單調性的合成需要接受定義域的保障，這種保障是必須的，但不是主要的，那學生解題時可以把這種保障放在前面來做，也可以放在后面來做，還可以借助圖像法，將兩個入手點一并解決。

（二）入手點的切換，“學得無助感”與“逃脫性學習法”

這種情形，關系重大，一定要指點學生自主“逃生”。

第一步：指點學生將剛才的想法（通分法）密封起來，堅決不用，打破思維的慣性。

第二步：學生清醒過來，重新入手，重新定位，多角度找入手點，或采用后退法找入手點，一定可以找到新的入手點。

不斷交匯發展，創新的問題變式教學不但可以向學生深刻展現數學問題的形成過程，還可以培養學生靈活、發展、綜合、辯證地入手解題。