淺議初中數(shù)學(xué)概念的有效教學(xué)

一、問題的提出

概念同化教學(xué)模式是建立在一般學(xué)習(xí)理論基礎(chǔ)之上，偏重于概念的邏輯結(jié)構(gòu)。這種教學(xué)模式比較簡明，使學(xué)生能夠比較直接地學(xué)習(xí)概念，因此，被稱為是“學(xué)生獲得概念的最基本方式”。概念同化雖然是一種省時、省力且見效快的概念教學(xué)模式，但在這種模式下，它忽視了數(shù)學(xué)概念本身所蘊(yùn)含的現(xiàn)實(shí)背景，學(xué)生的學(xué)習(xí)缺乏“活動”，對概念的形成過程沒有充分的體驗(yàn)。

二、APOS理論的構(gòu)建

APOS別是由英文Action（操作）、Process（過程）、Object（對象）和Scheme（圖式）的第一個字母組合而成。這種理論認(rèn)為，在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中，如果引導(dǎo)個體經(jīng)過思維的操作、過程和對象等幾個階段后，個體一般就能在建構(gòu)、反思的基礎(chǔ)上把它們組成圖式從而理清問題情境，順利解決問題。這四個階段的內(nèi)容如下：

1.活動階段（Action）：親身體驗(yàn)、感受概念的直觀背景和概念間的關(guān)系。通過操作活動，理解概念的意義。

2.過程階段（Process）：對“操作”進(jìn)行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、壓縮過程，在頭腦中進(jìn)行描述和反思，抽象出概念所特有的性質(zhì)。

3.對象階段（Object）：認(rèn)識概念本質(zhì)，對其賦予形式化的定義及符號，使其達(dá)到精致化，成為一個具體的對象。

4.圖式階段（Scheme）：反映概念的定義及符號，建立與其他概念、規(guī)則、圖形的聯(lián)系，形成綜合的心理圖式。

APOS理論將數(shù)學(xué)概念的建立分為活動——過程——對象——概念四個階段，如果數(shù)學(xué)教學(xué)停留在活動層面，那不是真正的理想的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)還應(yīng)上升到抽象層面，使概念的形成的“活動、過程”向“對象”階段轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到“圖式”階段，才能掌握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)與內(nèi)在。

三、基于APOS理論的教學(xué)設(shè)計(jì)

筆者認(rèn)為，APOS理論的活動階段相當(dāng)于觀察、呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的具體實(shí)體階段，過程階段則是對具體實(shí)體進(jìn)行思維概括得出數(shù)學(xué)概念的階段。下面是僅以浙教版八年級（上）《平面直角坐標(biāo)系》的教學(xué)設(shè)計(jì)為例來說明。

1.活動階段——創(chuàng)設(shè)問題情境，在活動中思考問題

筆者發(fā)給同學(xué)們一張地圖，請大家仔細(xì)觀察地圖并回答問題：

（1）向你的同桌描述建筑物A（動物園）、B（青少年宮）、C（電影院）的位置。（2）假設(shè)你在另一處D（學(xué)校），你將怎樣找到A、B、C？

結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)造學(xué)生展開思考的環(huán)境，給予學(xué)生充分表達(dá)自己看法的機(jī)會，讓他們在自主思考、自由交流中，在與同學(xué)觀點(diǎn)交鋒中，撞擊出思維的火花。

2.過程階段——體驗(yàn)并抽象比例概念的過程

老師廣泛聽取學(xué)生意見后，因勢利導(dǎo)，總結(jié)、概括大家的意見，引導(dǎo)學(xué)生得出確定平面某一位置的方法，以及這些方法的共同之處。接下來，老師與學(xué)生共同回顧之前學(xué)過的有關(guān)數(shù)軸的內(nèi)容——數(shù)軸上的每一個點(diǎn)都對應(yīng)著一個實(shí)數(shù)值，然后找到那個點(diǎn)，以此誘發(fā)學(xué)生思考平面上一個點(diǎn)的確定。結(jié)合先前活動的經(jīng)驗(yàn)，抽象得出平面上的確定位置的過程，也是尋找、設(shè)置兩條數(shù)軸（兩個方向）的過程。而兩條互相垂直的數(shù)軸也是其中的一種過程，也就構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，而這一過程也就是形成平面直角坐標(biāo)系的過程。將平面直角坐標(biāo)系這一概念的形成過程歸結(jié)于兩條數(shù)軸的出現(xiàn)過程，這應(yīng)該是一種全新的視角。

3.對象階段——對平面直角坐標(biāo)系形式化、工具性的表達(dá)

將平面直角坐標(biāo)系作為一個新的對象來認(rèn)識，對其進(jìn)行形式化、工具性地表達(dá)，這是對象階段應(yīng)該達(dá)到的目標(biāo)。課題練習(xí)：（1）請你在先前地圖中，建立平面直角坐標(biāo)系。（2）寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)。（3）寫出與B點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)數(shù)軸相對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)。1小題用于鞏固平面直角坐標(biāo)系的概念；2、3題皆在聯(lián)系通過點(diǎn)寫坐標(biāo)。而這一切都將學(xué)生的動手嘗試放在老師講解之前，也是考慮到知識內(nèi)容本身的難易程序和學(xué)生已有的知識背景。

4.圖式階段——建立綜合心理圖式

通過以上三個階段的教學(xué)，學(xué)生在頭腦中應(yīng)該建立如下的心理圖式：現(xiàn)實(shí)生活中直角坐標(biāo)系思想的應(yīng)用、直角坐標(biāo)系的作用、在直角坐標(biāo)系中確定點(diǎn)的過程及其與數(shù)軸的區(qū)別和聯(lián)系等等。老師帶領(lǐng)學(xué)生訂正課堂練習(xí)，并在其中嘗試區(qū)分平面直角坐標(biāo)系與數(shù)軸的不同，認(rèn)識它們的優(yōu)越性。

老師引導(dǎo)學(xué)生思考平面直角坐標(biāo)系與數(shù)軸的關(guān)系，對學(xué)生拓寬思考問題的方式大有好處，明確此事物和它事物的區(qū)別與聯(lián)系，也是認(rèn)識事物的一種方式。

四、數(shù)學(xué)概念教學(xué)中幾點(diǎn)建議

APOS理論對于數(shù)學(xué)的概念的學(xué)習(xí)能產(chǎn)生多大的指導(dǎo)作用，最終還要依賴于老師的課堂實(shí)踐。為此，提出以下幾點(diǎn)教學(xué)建議：

1.努力創(chuàng)設(shè)適合學(xué)生概念發(fā)展的現(xiàn)實(shí)情境。

2.對象、圖式階段是數(shù)學(xué)概念在學(xué)生頭腦中建立的長遠(yuǎn)之計(jì)，二者可以循環(huán)上升。

3.創(chuàng)設(shè)情境不是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的最終目的。

要形成概念，需要尋找它生存的現(xiàn)實(shí)土壤，需要活動讓學(xué)生親身感知問題，也需要學(xué)生積極展開思考，從現(xiàn)實(shí)情境中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)。但是，概念教學(xué)也不能僅僅停留于活動層面，對第一階段花大力氣、多時間，而對其他階段草草收場，這也是不符合理論的，甚至是舍本逐末的。