數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透

數(shù)學(xué)思想在學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的關(guān)鍵和動(dòng)力，抓住數(shù)學(xué)思想方法，是提高解題能力的根本所在.教師在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，只有有效地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題過(guò)程中的數(shù)學(xué)思想，并且有效地能加以歸納和總結(jié)，才能使學(xué)生真正體會(huì)數(shù)學(xué)的奧妙，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的真諦，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，提高解題能力.

一、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想就是將不熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決的一種思想方法.在學(xué)習(xí)過(guò)程中，遇到不熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)要善于分析該問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，通過(guò)“拼”、“拆”、“合”、“分”等方法，將之轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)解決.

【例1】如圖1，P是⊙O的弦CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)A在⊙O上，且∠PCA=∠BAP.

（1）求證：PA是⊙O的切線；

（2）若PB∶BC=2∶3，且PC=10，求PA的長(zhǎng).

分析：（1）要證明PA是⊙O的切線，定理只有一個(gè)，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于D，證∠PAD=90°.

（2）由三角形相似得PA2=PB·PC，只要求出PB就可以了.據(jù)PB∶BC=2∶3，可求出PB.

（1）證明：連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于D，連接BD.

∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD=90°，

∴∠D+∠DAB=90°，

又∵∠D=∠C=∠PAB，∴∠DAB+∠PAB=90°，即OA⊥PA.∴PA是⊙O的切線.

（2）∵∠C=∠PAB，∠P=∠P，∴△PAC∽△PBA.

∴PAPC=PBPA，又PB∶BC=2∶3，PC=10，

即（10-BC）∶BC=2∶3，故BC=6，

∴PB=10-6=4，PA2=PB·PC=4×10=40，

∴PA=±210，∴PA=210.

二、方程思想

方程思想就是從分析問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，通過(guò)設(shè)未知數(shù)，把問(wèn)題中的已知量與未知量的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程或方程組，然后通過(guò)解方程（組），使問(wèn)題得到解決.應(yīng)用方程思想解題的關(guān)鍵是找到題目中隱含的等量關(guān)系.

【例2】 某班40名學(xué)生某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)統(tǒng)計(jì)表如下：

成績(jī)（分）5060708090100人數(shù)（人）2x10y42若這個(gè)班的數(shù)學(xué)平均成績(jī)是69分，求x和y的值.

分析：由題意知，題中有兩個(gè)等量關(guān)系：所有人數(shù)的和等于40，平均分等于69分，據(jù)此可列出方程組，解之即可.

解：由題意，得

2+x+10+y+4+2=40

50×2+60×x+70×10+80×y+90×4+100×2=69×40.

解得x=18，

y=4.

三、整體思想

整體思想就是化零為整，化分散為集中，把一些看似彼此獨(dú)立，實(shí)質(zhì)上緊密相連的量作為整體進(jìn)行處理的一種解題策略.

【例3】 如圖3所示，已知⊙A，⊙B，⊙C，⊙D相互外離，它們的半徑都是1，順次連接四個(gè)圓心得到四邊形ABCD，則圖形中四個(gè)扇形（陰影部分）的面積之和為

A.2πB.πC.23πD.π2

解析：利用整體思想，四個(gè)扇形的圓心角之和為四邊形ABCD的內(nèi)角之和，又因?yàn)樗膫€(gè)圓的半徑都是1，所以陰影部分的面積之和為：S=360π×12360=π，故選（B）.

四、分類(lèi)討論思想

分類(lèi)討論思想就是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，把研究對(duì)象分成為數(shù)不多的幾個(gè)部分或幾種情況，然后逐個(gè)加以解決，最后予以總結(jié)得出結(jié)論的思想方法.其實(shí)質(zhì)是化整為零，各個(gè)擊破的轉(zhuǎn)化策略.運(yùn)用分類(lèi)思想解題時(shí)，要做到“確定對(duì)象的全體，明確分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，不重復(fù)、不遺漏”.

【例4】正比例函數(shù)y=2kx與反比例函數(shù)y=k-1x在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像不可能是（）.

分析：因?yàn)橐粋€(gè)函數(shù)關(guān)系式中k的取值范圍不確定，所以需要根據(jù)k的符號(hào)進(jìn)行分類(lèi)討論，從而找出不可能的圖像.

解：（1）當(dāng)k-1>0，即k>1時(shí)，反比例函數(shù)的圖像在第一、三象限，正比例函數(shù)圖像過(guò)第一、三象限，即圖像可能是B；（2）當(dāng)k-1<0，即k<1時(shí)，反比例函數(shù)的圖像在第二、四象限，正比例函數(shù)圖像可能過(guò)第一、三象限，也可能過(guò)第二、四象限，即圖像可能是A或C.故應(yīng)選D.

五、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的學(xué)科，“數(shù)”與“形”以及它們的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)的永恒主題.以坐標(biāo)系為紐帶使函數(shù)的解析與函數(shù)圖像、方程與曲線建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，從而對(duì)數(shù)量關(guān)系的研究可轉(zhuǎn)化為對(duì)圖形性質(zhì)的研究，反之亦然.既充分發(fā)揮了形的直觀性，又注意了數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性.這種解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，交互使用的技能，解決了數(shù)與形的兩面性，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì).

【例2】若a、b、c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示：

化簡(jiǎn)：|a-b|+|b-c|-|c+a|.

解：由數(shù)軸可知：a-b<0，b-c>0，c+a<0，

∴原式=-（a-b）+（b-c）-[-（c+a）]

=-a+b+b-c+c+a

=2b.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）