高溫下混凝土軸壓柱的截面極限承載力隨機分析

摘 要：在已有的混凝土和鋼筋高溫力學性能統計結果基礎上，拓展了它們相對高溫強度概率模型的溫度適用范圍；通過在混凝土軸壓柱的截面分析中引入2種材料的隨機性，探討了該類柱的截面高溫極限承載力的概率特性.研究表明：無論是否考慮材料常溫強度的隨機性，柱截面高溫極限承載力都近似服從正態分布；是否考慮材料常溫強度的隨機性，對柱截面高溫極限承載力均值幾乎沒有影響，但對其變異系數影響明顯；直接選用混凝土和鋼筋常溫強度以及相對高溫強度的均值進行計算，可較好地確定柱截面高溫極限承載力的均值.

關鍵詞：混凝土；鋼筋；軸壓柱；高溫；極限承載力；隨機分析

中圖分類號：TU375.3 文獻標識碼：A

Random Analyses of the Sectional Load Bearing Capacities of Axially Loaded Reinforced Concrete Columns in Fire

WU Bo1， FENG Wei1， WEN Bo2

(1. State Key Laboratory of Subtropical Building Science， South China Univ of Technology， Guangzhou， Guangdong 510640， China; 2. School of Civil Engineering， Xi’an Univ of Architecture and Technology， Xi’an， Shaanxi 710055， China)

Abstract: Based on the existing statistical results of concrete and steel bar’s mechanical properties at high temperature， the probabilistic models for concrete and steel bar’s relative strengths at high temperature were extended to a larger thermal range. Considering the randomicity of concrete and steel bar’s strengths in the sectional analysis of axially loaded columns in fire， the statistical characteristics of the columns’ sectional load bearing capacities were studied. The results have shown that: (a) whether the randomicity of concrete and steel bar’s strengths at room temperature are considered or not， the columns’ sectional load bearing capacities in fire follow the normal distribution; (b) the randomicity of concrete and steel bar’s strengths at room temperature has almost no influence on the mean values of the columns’ sectional load bearing capacities in fire， but has significant effect on their variation factors; and (c) the mean values of the columns’ sectional load bearing capacities in fire can be directly determined through calculation by using both the mean values of concrete and steel bar’s strengths at room temperature and the mean values of their relative strengths at high temperature.

Key words:concrete; steel bars; axially loaded column; high temperature; load bearing capacity; random analysis

混凝土柱的耐火性能直接關系到眾多工程結構的火災安全.目前，國內外學者對混凝土柱的耐火性能開展了較系統的研究，在明火試驗、數值模擬、簡化計算方法等方面取得了豐碩的研究成果，并部分應用于各國抗火設計標準[1].但需要指出的是，上述研究成果幾乎都是建立在確定性分析基礎上的，很少考慮各類隨機因素對柱耐火性能的影響.

作為2種主要建筑材料，混凝土和鋼筋的常溫力學性能一般都具有較強隨機性，明火作用又給它們的力學性能引入了新的不確定性，二者綜合作用導致混凝土構件的耐火性能常出現較大波動.作為初步探討，在文獻[2]給出的混凝土和鋼筋相對高溫強度概率模型的基礎上，本文對四面受火混凝土軸壓柱的截面高溫極限承載力進行了隨機模擬和統計分析，給出了相應的概率分布，以期為該類柱的抗火可靠度計算提供抗力方面的參考信息.

1 混凝土和鋼筋的相對高溫強度

文獻[2]通過對我國高溫下普通混凝土棱柱體抗壓強度和熱軋鋼筋屈服強度的大量試驗數據進行統計分析，發現不同溫度作用下的相對高溫強度(即高溫強度與常溫強度之比)都符合正態分布，并給出了高溫下混凝土和鋼筋相對高溫強度均值及95%保證率分位值的確定公式.其中混凝土相對高溫強度公式的溫度適用區間為100～700 ℃，適用對象為C20～C50混凝土；鋼筋相對高溫強度公式的溫度適用區間為100～800 ℃.為適應后續計算需要，下面對它們的溫度適用范圍進行適當拓展.

混凝土和鋼筋的相對高溫強度都是以各自常溫強度為基準的無量綱比值，無法體現常溫強度的變異性，僅能反映高溫作用新引入的隨機性.因此，可認為20 ℃時相對高溫強度的均值和均方差分別為1.0和0.另一方面，1 000 ℃時混凝土和鋼筋的相對高溫強度幾乎喪失殆盡，對構件耐火性能的貢獻基本可以忽略，為此可認為1 000 ℃時相對高溫強度的均值和均方差都為0.為簡便起見，20～100 ℃混凝土和鋼筋相對高溫強度，700~1 000 ℃混凝土相對高溫強度，以及800~1 000 ℃鋼筋相對高溫強度的均值和均方差近似采用線性插值獲得.這樣，即可得到式(1)~(4)所示溫度適用范圍拓展之后的混凝土和鋼筋相對高溫強度的計算公式.

混凝土棱柱體相對高溫強度：

λTc，50%=fTcfc50%=

1.023 5－0.001 2T， T∈20，100；

0.644 2+0.003 4T-7.950 7×10-6T2+

3.498 8×10-9T3， T∈100，700；

0.314 4×1 000－T/300， T∈700，1 000；0，

T∈1000，+

式中: T為溫度， ℃；λTc，50%和λTc，95%分別為混凝土相對高溫強度的均值(具有50%保證率)和95%保證率分位值；fc和fTc分別為常溫和溫度T作用下混凝土的棱柱體抗壓強度；λTs，50%和λTs，95%分別為鋼筋相對高溫強度的均值和95%保證率分位值；fy和fTy分別為常溫和溫度T作用下鋼筋的屈服強度.

由于混凝土和鋼筋的相對高溫強度都符合正態分布，不同溫度下混凝土和鋼筋相對高溫強度的均方差σλTc和σλTs可分別根據λTc，95%=λTc，50%－1.645σλTc和λTs，95%=λTs，50%－1.645σλTs求得.

過鎮海[3]和T. T. Lie[4]根據試驗結果，分別給出了混凝土和鋼筋相對高溫強度的建議公式，歐洲規范EC2[5]也以表格形式給出了混凝土和鋼筋的相對高溫強度.將這些建議公式和表格數據，以及式(1)~(4)同時繪于圖1進行對比.從圖中可以看出，式(1)~(4)對應曲線的總體變化趨勢與其他3條曲線一致，且具體取值大多介于其他3條曲線之間.

溫度/℃(a) 混凝土

溫度/℃(b) 鋼筋

2 數值模擬

溫度場計算采用如下假定：1) 溫度場分析獨立于構件的內力和變形分析；2) 忽略鋼筋對溫度場的影響，鋼筋溫度取其截面中心處的混凝土溫度；3)溫度場沿構件長度方向保持不變，即構件內部溫度場為二維溫度場.截面溫度場采用文獻[6]所給程序進行計算，在此不再贅述.一般來說，硅質骨料混凝土的抗火性能較鈣質骨料混凝土更弱，同時應用也較為普遍，因此本文以硅質骨料混凝土為研究對象，并采用文獻[7]所給公式確定硅質骨料混凝土的高溫熱工性能.參照歐洲規范考慮混凝土含水量的影響[5]，即100~200 ℃之間對混凝土的質量熱容進行修正以考慮水分蒸發對溫度場的影響，并假設130 ℃時影響最大，水的質量分數取為2%.

為簡化截面高溫極限承載力的分析過程，考慮如下假定：1) 升溫過程中構件橫截面始終保持為平截面；2) 鋼筋和混凝土之間無相對滑移；3) 截面各網格的高溫強度相互獨立.根據后文3.1節所給流程圖，截面高溫極限承載力采用自編程序進行計算.混凝土和鋼筋的高溫單軸本構關系采用文獻[3]建議的表達式，并取高溫下混凝土棱柱體抗壓強度和鋼筋屈服強度為fTc=λTcfc和fTy=λTsfy(λTc和λTs分別為溫度T作用下混凝土和鋼筋的相對高溫強度)，同時取鋼筋常溫屈強比為1.5[3，8].

圖2所示為溫度場計算結果與國外試驗結果的對比，相關計算參數取自文獻[4].從圖中可以看出，采用文獻[6]所給程序計算得到的溫度場總體上與試驗結果吻合較好.

時間/min

文獻[9]給出了混凝土軸壓柱高溫極限承載力的如下計算公式：

Nut=γtηλNpt.(5)

式中：t為受火時間；Nut為t時刻柱的極限承載力；Npt為t時刻極短柱的極限承載力，本文近似取為該時刻柱的截面高溫極限承載力；γt為考慮混凝土爆裂影響的折減系數；ηλ為考慮柱長細比影響的折減系數.

表1列出了國內外13根方柱的明火試驗數據，柱高都為3.81 m，兩端固支，受火高度都為3.0 m.根據前人研究結果，此時柱計算長度可取為2.0 m[10].先采用自編程序獲得表中各柱耐火極限時刻對應的截面高溫極限承載力，然后利用式(5)分別求得各柱該時刻的高溫極限承載力，理想情況下此高溫極限承載力應恰好等于試驗時柱實際所受豎向荷載.計算過程中，混凝土和鋼筋的常溫強度按表1取值，它們的相對高溫強度分別按式(1)和式(3)確定.圖3所示為各柱耐火極限時刻對應的高溫極限承載力計算結果與柱實際所受豎向荷載的對比.從圖中可以看出，除個別情況外，二者總體吻合較好，前者與后者之比的均值和均方差分別為1.030和0.167，這間接表明本文柱截面高溫極限承載力的計算結果是較為合理的.

3 計算分析

3.1 計算參數及流程

考慮表2所示3種截面尺寸的混凝土軸壓柱，采用ISO 834標準升溫曲線，升溫180 min，期間每隔15 min對柱截面高溫極限承載力進行隨機模擬，共12個升溫時間截口.對于每個升溫時間截口，混凝土和鋼筋常溫強度及相對高溫強度的抽樣次數均為1×104，抽樣時截面不同網格對應的常溫強度和相對高溫強度各自隨機產生且相互獨立.根據抽樣結果，在考慮和不考慮材料常溫強度變異性的2種情況下，分別計算出相應的柱截面高溫極限承載力，具體程序流程見圖4(圖中Δε = 1×10-5).

3.2 截面高溫極限承載力

3.2.1 均值和變異系數

在大量隨機模擬結果基礎上，可統計給出不同截面尺寸和不同升溫時間截口對應的截面高溫極限承載力的均值和變異系數，具體見圖5.從圖中可以看出：

升溫時間/min（a) 截面高溫極限承載力均值

升溫時間/min（b) 變異系數

圖5 截面高溫極限承載力的均值和變異系數

Fig.5 Mean values and variation factors of sectional load bearing capacities of columns in fire

1) 隨著升溫時間增加，截面高溫極限承載力的均值近似呈線性降低；是否考慮材料常溫強度的變異性對該均值幾乎沒有影響，相差最大僅0.12%.

2) 不考慮材料常溫強度變異性時，截面高溫極限承載力的變異系數為0.001 7～0.007 3，平均0.004 9；考慮材料常溫強度變異性時，截面高溫極限承載力的變異系數為0.144 9～0.156 6，平均為0.151 2.不考慮材料常溫強度變異性與考慮時相比，截面高溫極限承載力的變異系數顯著減小，前者平均僅為后者的3%左右.這表明與混凝土和鋼筋相對高溫強度的隨機性相比，材料常溫強度的變異性才是影響截面高溫極限承載力的主要因素.

3) 文獻[2]的研究表明，混凝土和鋼筋相對高溫強度的變異系數分別為0.018～0.150和0.007～0.260，明顯大于不考慮材料常溫強度變異性時截面高溫極限承載力的變異系數，具體原因見后文3.3節.

為探索截面高溫極限承載力均值的簡化計算方法，在圖4所示程序流程中既不考慮材料相對高溫強度的變異性，也不計及材料常溫強度的變異性，直接選用混凝土和鋼筋常溫強度以及相對高溫強度的均值(見表2， 式(1)和式(3))，計算不同升溫時間截口的截面高溫極限承載力(承載力A)，并將其與相應升溫時間截口下同時考慮材料常溫強度和相對高溫強度隨機性時截面高溫極限承載力大量隨機模擬結果的統計平均值(承載力B)進行對比，二者之間的相對誤差見圖6.

從圖6可以看出，針對不同截面尺寸和不同升溫時間截口，承載力A和承載力B都幾乎相等，最大相對誤差僅0.13%.因此，直接選用混凝土和鋼筋常溫強度以及相對高溫強度的均值進行確定性計算，即可較好地獲得截面高溫極限承載力的均值.

3.2.2 概率分布

在顯著性水平0.025/0.05條件下，分別對3種截面尺寸的混凝土軸壓柱在12個升溫時間截口的截面高溫極限承載力的大量隨機模擬結果進行χ2擬合檢驗，并采用正態分布(A)、對數正態分布(B)和極值Ⅲ型分布(C)作為檢驗假設.具體檢驗結果見表3.

對于給定的顯著性水平α，若χ2>χ2αf-則拒絕假設，否則接受假設.從表3可以看出：

1) 不考慮材料常溫強度變異性時，在顯著性水平0.025/0.05條件下，截面高溫極限承載力同時符合正態分布和對數正態分布，且擬合度相近，但都拒絕極值Ⅲ型分布假設.

2) 考慮材料常溫強度變異性時，截面高溫極限承載力同時拒絕對數正態分布和極值Ⅲ型分布假設.

3) 考慮材料常溫強度變異性時，截面高溫極限承載力雖然在某些升溫時間截口拒絕正態分布假設(因為χ2max 大于χ2αf-)，但從平均意義上看，300 mm×300 mm和400 mm×400 mm對應的截面高溫極限承載力在顯著性水平0.025/0.05條件下符合正態分布(因為χ2小于χ2αf-)，500 mm×500 mm對應的截面高溫極限承載力在顯著性水平0.025條件下符合正態分布.總體來看，在考慮材料常溫強度變異性的情況下，截面高溫極限承載力近似符合正態分布.

3.3 討 論

3.2.1節研究表明，不考慮材料常溫強度變異性時，混凝土和鋼筋相對高溫強度的變異系數明顯大于截面高溫極限承載力的變異系數，即此時材料層次的變異性明顯大于構件層次的變異性.

圖7以400 mm×400 mm混凝土軸壓柱的180 min升溫時間截口為例，在不考慮材料常溫強度變異性的情況下，分別給出了截面高溫極限承載力任意3個樣本所對應的截面應力分布.圖7(a)～(c)的縱坐標“相對應力”為樣本某網格應力與相同截面尺寸相同時間截口的所有樣本的該網格應力的均值之比，圖7(d)的縱坐標“相對高溫極限承載力”為樣本高溫極限承載力與相同截面尺寸相同時間截口的所有樣本的高溫極限承載力的均值之比.

（a) 樣本1

（b) 樣本2

（c) 樣本3

（d)截面相對高溫極限承載力

從圖7可以看出：同一樣本不同網格的相對應力起伏較大，不同樣本同一網格的相對應力也差異顯著，但對整個截面而言，各樣本的相對高溫極限承載力卻幾乎相等，就全部1×104個樣本來看，相差不超過3.84%.這表明雖然混凝土和鋼筋的相對高溫強度具有一定隨機性，導致截面應力波動明顯，但在網格應力積分形成截面高溫極限承載力的過程中該類波動卻相互抵消，最終使得截面高溫極限承載力的變異性大幅降低.

由于混凝土軸壓柱的截面高溫極限承載力近似符合正態分布，根據前面統計所得不同截面尺寸和不同升溫時間截口對應的截面高溫極限承載力的均值和變異系數，圖8繪出了截面相對高溫極限承載力的概率密度曲線.從圖8可以看出：

1) 不考慮材料常溫強度變異性時，升溫時間很短(如15 min)對應的概率密度曲線相比于其他時間截口顯得高而窄，同時截面尺寸越大概率密度曲線越窄.這是因為升溫時間很短時，截面絕大部分區域尚處于常溫狀態，材料相對高溫強度隨機性的影響范圍非常有限，致使截面相對高溫極限承載力的變異性較小.與此同理，截面尺寸越大，相同升溫時間下截面處于常溫狀態的區域所占比例就越大，截面相對高溫極限承載力的變異性也就越小.

2) 考慮材料常溫強度變異性時，相同截面尺寸不同升溫時間截口對應的概率密度曲線幾乎重合，僅峰值處略有波動，而相同升溫時間截口不同截面尺寸對應的概率密度曲線也非常接近.這表明截面相對高溫極限承載力的概率密度分布主要取決于材料常溫強度的變異性，此時材料相對高溫強度隨機性的影響有限.

4 小 結

通過本文的研究，可以得到如下初步結論：

1) 是否考慮材料常溫強度的隨機性，對柱截面高溫極限承載力的均值幾乎沒有影響.

2) 是否考慮材料常溫強度的隨機性，對柱截面高溫極限承載力的變異系數影響明顯，不考慮時該變異系數平均為0.004 9，考慮時該變異系數平均為0.151 2，前者僅為后者的3%左右.與材料相對高溫強度的隨機性相比，材料常溫強度的隨機性才是影響柱截面高溫極限承載力的主要因素.

3) 直接選用混凝土和鋼筋常溫強度以及相對高溫強度的均值進行計算，可較好地確定柱截面高溫極限承載力的均值.

4) 無論是否考慮材料常溫強度的隨機性，柱截面高溫極限承載力均近似服從正態分布.

5) 雖然材料相對高溫強度具有一定隨機性，導致柱截面高溫應力波動明顯，但在網格應力積分形成柱截面高溫極限承載力的過程中上述波動卻相互抵消，該承載力的變異性由此大幅降低.

若暫不考慮式(5)中混凝土爆裂影響折減系數和長細比影響折減系數的隨機性，利用該式可將柱截面高溫極限承載力的概率特性方便地拓展至柱高溫極限承載力.但需要指出的是，作為初步探討，本文僅涉及到混凝土和鋼筋常溫強度以及相對高溫強度的隨機性，其他隨機因素(如幾何尺寸和計算模式的隨機性，特別是高溫下表層混凝土剝落引發的幾何尺寸隨機性等)對混凝土柱高溫極限承載力的影響尚有待進一步研究.

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