考慮P-Δ效應(yīng)的陡坡段橋梁雙樁結(jié)構(gòu)受力分析

摘 要：深入分析了陡坡段橋梁樁基受力的P-Δ效應(yīng)形成機(jī)理.依據(jù)土壓力理論與彈性地基梁理論，通過(guò)對(duì)坡體剩余下滑力和土體抗力的合理簡(jiǎn)化，建立了陡坡段橋梁雙樁結(jié)構(gòu)體系的樁土相互作用模型.在此基礎(chǔ)上，導(dǎo)出不同特征樁段微分方程的冪級(jí)數(shù)解答，從而提出了一種可考慮P-Δ效應(yīng)的陡坡段橋梁樁基受力計(jì)算方法.與文獻(xiàn)算例對(duì)比分析表明了該方法的合理性.最后，對(duì)雙樁結(jié)構(gòu)內(nèi)力與位移的影響因素及其敏感性進(jìn)行了探討，結(jié)果表明：前樁P-Δ效應(yīng)的影響不容忽視，當(dāng)樁頂荷載水平及地基抗力比例系數(shù)相同時(shí)，后樁樁身最大彎矩比前樁大，且最大彎矩作用面均位于邊坡滑動(dòng)面附近，陡坡上的橋梁樁基同樣具有嵌固深度效應(yīng).

關(guān)鍵詞：橋梁工程；陡坡；P-Δ效應(yīng)；冪級(jí)數(shù)解；影響因素分析

中圖分類號(hào)：TU 473 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Force Analysis of Bridge Double-pile in High and Steep Slope with Consideration of P-Δ effect

YIN Ping-bao， ZHAO Ming-hua，YANG Ming-hui， LIU Guang-xuan

(Geotechnical Institute， Hunan Univ， Changsha，Hunan 410082， China)

Abstract:The formation mechanism of P-Δ effect of bridge double-pile foundation in steep slope was analyzed. According to the theory of the earth pressure and the elastic foundation beam， a pile-soil interaction model was established on the basis of the reasonably simplified residual pushing force and soil resistance， and then the differential equation of the characteristic section of piles was deduced with consideration of the P-Δ effect， and the solution to the calculation of the inner-force of the double-pile was obtained by using the power-progression method. In addition， a comparative analysis of an existing literature was carried out， and it has been found that the calculated values are closed to the measured values. Finally， the influencing factors and sensitivity of inner force and the displacement of the bridge double-pile were studied and some useful conclusions have been drawn: the P-Δ effect of the former-pile can not be ignored; the moment of the back-pile is bigger than the former-pile when the load level and the soil resistance coefficient m are the same， and the maximum bending moment surfaces of the pile is near the sliding surface. The effect of embedded depth also exists in the piles in steep slope.

Key words:bridge engineering; steep slopes; P-Δ effect; power-progression solution; analysis of influence factors

高速公路或鐵路穿越西部山區(qū)時(shí)，出于保護(hù)道路線形及自然環(huán)境等方面的考慮，某些橋梁不得不沿險(xiǎn)峻的高陡斜坡采用半路半橋的結(jié)構(gòu)形式[1].位于斜坡上的橋梁樁基不僅要承擔(dān)上部結(jié)構(gòu)傳遞下來(lái)的傾斜偏心荷載，還將承受坡體剩余下滑力的作用.對(duì)于這一復(fù)雜受力情況，目前常用的計(jì)算方法是分別計(jì)算各單一荷載下基樁的內(nèi)力及位移，再進(jìn)行簡(jiǎn)單疊加，或者僅考慮樁頂傾斜偏心荷載按照普通的平地樁進(jìn)行設(shè)計(jì)，其結(jié)果勢(shì)必忽略了P-Δ效應(yīng)對(duì)基樁的影響，產(chǎn)生較大誤差.

對(duì)位于陡坡上的樁基，近年來(lái)一些國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)的理論與試驗(yàn)研究，如L. C. Reese， 鄭剛等[2-4]在考慮樁土相互作用情況下，對(duì)陡坡上抗滑樁的受力進(jìn)行了相關(guān)的理論研究，然而未考慮樁頂豎向荷載作用及由此產(chǎn)生的基樁P-Δ效應(yīng)；趙明華、劉建華等[5-7] ，提出了適用于承重阻滑樁內(nèi)力及位移分析的有限差分解，并進(jìn)行了相關(guān)的室內(nèi)模型試驗(yàn)研究；趙文等［7］對(duì)高陡邊坡上橋梁樁基位置的確定進(jìn)行了相關(guān)數(shù)值分析研究.但這些研究?jī)H針對(duì)單樁情況，與實(shí)際工程中采用的雙樁結(jié)構(gòu)具有一定差距.為此，本文著重分析了橋梁雙樁結(jié)構(gòu)的受荷特點(diǎn)，建立了計(jì)入P-Δ效應(yīng)的陡坡段橋梁雙樁結(jié)構(gòu)的受力模型，導(dǎo)出了其內(nèi)力與位移分析的冪級(jí)數(shù)解，并對(duì)影響基樁受力的各主要因素進(jìn)行了分析探討，以期為實(shí)際工程提供參考.

1 陡坡段橋梁樁基的P-Δ效應(yīng)

為了提高橋梁墩柱的穩(wěn)定性，陡坡段橋梁樁基大多采用雙樁結(jié)構(gòu)，其由2根平行的單樁在樁頂用剛性橫向系梁連接.為方便陳述，本文以首先承受坡體剩余下滑力的樁為后排樁，而間接承受下滑力的樁為前排樁(如圖1（a)所示).

由于陡坡的存在，前排樁一般具有較長(zhǎng)的外露段，一方面水平荷載將使基樁產(chǎn)生較大的彎曲或撓曲變形，另一方面豎向荷載也將由于基樁撓曲變形的出現(xiàn)而產(chǎn)生一附加彎矩(二階內(nèi)力)，而這一附加彎矩又將促進(jìn)基樁撓曲變形進(jìn)一步發(fā)展[5]，這種使基樁產(chǎn)生幾何非線性變形的現(xiàn)象，稱為P-Δ效應(yīng).

2 雙樁結(jié)構(gòu)受力分析

為考慮陡坡段橋梁雙樁結(jié)構(gòu)的P-Δ效應(yīng)，現(xiàn)對(duì)其受力體系進(jìn)行簡(jiǎn)化分析.由圖1(b)可知，其荷載主要由以下幾部分組成.在樁頂，前后兩樁均受豎向荷載P， 水平荷載Q以及彎矩M的作用；沿樁身，前樁主要受樁后巖土體產(chǎn)生的主動(dòng)土壓力、樁側(cè)摩阻力、地基抗力，后樁主要受坡體剩余下滑力、樁側(cè)摩阻力和地基抗力.

2.1 后樁坡體剩余下滑力

根據(jù)我國(guó)大量模型試驗(yàn)與滑坡現(xiàn)場(chǎng)試樁實(shí)測(cè)資料［8］，坡體剩余下滑力的分布形式多呈梯形、矩形、三角形或拋物線形，故設(shè)后樁坡體剩余下滑力的分布函數(shù)通式為：

qz=az2+bz+c. (1)

當(dāng)a=0，而b，c≠0時(shí)，呈梯形分布；當(dāng)a=0且b=0，而c≠0時(shí)，呈矩形分布；當(dāng)a=0且c=0，而b≠0時(shí)，呈三角形分布；當(dāng)c=0， 而a，b≠0時(shí)，呈拋物線形分布.

2.2 前樁主動(dòng)土壓力

由于后樁的存在阻礙了坡體土壓力的傳遞，使得前樁樁后主動(dòng)土壓力分布異常復(fù)雜.簡(jiǎn)化計(jì)算時(shí)，可根據(jù)后樁兩側(cè)土體重量的比例關(guān)系[9]來(lái)確定：設(shè)作用在后樁上的土壓力為σa，則可以求得傳至前樁上的主動(dòng)土壓力σ＇a為：

σ′a=2ld0-ld02σa.(2)

式中：l為樁間距；d0為前樁與滑動(dòng)面邊緣處距離.

2.3 地基抗力

陡坡段上覆巖土體一般為砂黏土、碎石土或風(fēng)化破碎成土狀的軟質(zhì)巖層，因此采用m法計(jì)算其地基系數(shù)較為適合.滑動(dòng)面以下z處發(fā)生水平位移x時(shí)，對(duì)應(yīng)的地基抗力為：

p(x，z)=(mz+C)x. (3)

式中：m為地基抗力比例系數(shù)；z為計(jì)算分析截面至巖土層頂面的距離；x為樁身水平位移；C為地基抗力分項(xiàng)系數(shù).

2.4 基本假定

為便于分析，特作如下基本假定：

1) 樁體處于彈性工作狀態(tài)，不考慮樁頂橫向系梁的軸向壓縮，即前后兩樁樁頂水平位移相等；

2) 樁側(cè)摩阻力、樁體自重隨深度呈線性變化，其分布函數(shù)為[1]：

P(z)=P0+fz. (4)

式中：P(z)為樁頂以下z 處樁身軸力;P0為樁頂豎向荷載；f為軸力增長(zhǎng)系數(shù).

基于上述分析和假定，以潛在滑動(dòng)面和地面為分界線，將后樁分為2段：受荷段和嵌固段；前樁分為3段：自由段、受荷段和嵌固段.

3 基樁微分方程及冪級(jí)數(shù)解

3.1 基樁微分方程的建立

由于僅考慮橫向系梁傳遞軸向力的作用，故將其看作軸向剛度無(wú)限大的桿，從而可將橫向系梁與基樁截開，首先將橋梁雙樁結(jié)構(gòu)拆分為前后兩單樁進(jìn)行分析，然后再考慮橫向系梁傳遞軸力N的作用(未知力N可在計(jì)算中通過(guò)兩樁的位移協(xié)調(diào)條件消去).基樁微元的受力如圖2所示，對(duì)前樁：自由段

qz，p(x，z)為零，嵌固段qz為零；對(duì)后樁：嵌固段qz為零.從而可以得出前后兩樁各特征樁段的平衡微分方程(具體推導(dǎo)過(guò)程參見文獻(xiàn)[1])：

1)前樁自由段：

d3xdz3+(λ2+k3z)dxdz－λ2k=0. (5)

2)前樁受荷段：

d4xdz4+(λ2+k3z)d2xdz2+k3dxdz+α5xz－γ4z=0(6)

3)前、后樁嵌固段：

d4xdz4+(λ2+k3z)d2xdz2+k3dxdz+α5zx+β4x=0 (7)

4)后樁受荷段：

d4xdz4+(λ2+k3z)d2xdz2+k3dxdz+α5zx－γ4z=0. (8)

式中：λ2=PEI，k3=fEI，α5=mb1EI，λ2k=Q0EI，β4=Cb1EI，γ4=bKEI，λ，k，α，λk，β和γ的單位均為m-1；b1為基樁有效計(jì)算寬度；EI為樁身剛度，其余參數(shù)同前.

限于篇幅，本文僅以前樁為例對(duì)基樁各特征樁段平衡微分方程進(jìn)行求解.

3.2 前樁自由段冪級(jí)數(shù)解

對(duì)(5)式難以直接求解，故本文采用冪級(jí)數(shù)法對(duì)其進(jìn)行求解.設(shè)樁身水平位移為：

x=∑

將式(9)代入式(5)，按待定系數(shù)法可得到樁身內(nèi)力與位移的冪級(jí)數(shù)解答的初參數(shù)方程如下：

xz=A1+x0+φ0λ0B1+M0λ20EIC1，

φzλ0=A2+φ0λ0B2+M0λ20EIC2，

Mzλ20EI=A3+φ0λ0B3+M0λ20EIC3(10)

式(10)中A， B， C為λ，k，λk的函數(shù)：

A1=f0()，B1=f1()，C1=f2();A2=f'0()，B2=f′1()，C2=0.5f′2();A3=f″0()，B3=f″1()，C3=0.5f″2() (11)

其中=λ0z，函數(shù)f按照式(12)計(jì)算：

f0()=∑

式(12)中b按照式(13)計(jì)算：

dij (1≤i≤4，0≤j≤2)∑i－2k=i－3dikbkj (i≥5，0≤j≤2)=bij (13)

式(13)中d為：

d11=d22=1;d30=λ2k6λ2;d31=－16;dn，n－3=(n－3)(k/λ)3n(n－1)(n－2)(n>3);dn，n－2=1n(n－1)(n>3);其余dij=0 (14)

3.3 前樁受荷段樁冪級(jí)數(shù)解

對(duì)受荷段平衡微分方程式(6)同樣采用冪級(jí)數(shù)法，其樁身內(nèi)力與位移解答的初參數(shù)方程為：

xz=X1A′1+φ1λ1B′1+Mλ21EIC′1+Q1λ31EID′1+E′1，

φzλ1=x1A′2+φ1λ1B′2+M1λ21EIC′2+Q1λ31EID′2+E′2，

Mzλ21EI=x1A′3+φ1λ1B′3+M1λ21EIC′3+Q1λ31EID′3+E′3，

Qzλ31EI=x1A′4+φ1λ1B′4+M1λ21EIC′4+Q1λ31EID′4+E′4(15)

式中:A′， B′， C′， D′， E′為λ１， k1，α1，β１的函數(shù).

A′1=g0，B′1=g1－g3/6，

C′1=0.5g2，D′1=g3/6，E′1=g4;A′2=g′0，B′2=g′1－g′3/6，C′2=0.5g′2，D′2=g′3/6，E′2=g′4;A′3=g″0，B′3=g″1－g″3/6，C′3=0.5g″2，D′3=g″3/6，E′3=g″4;A′4=g0+ζ′A′2，B'4=g1－g3/6+ζ′B′2，C′4=0.5g2+ζ′C′2，D′4=g3/6+ζ'D2，E′4=g4，ζ′=1+k31/λ31(16)

式中g(shù)按照式(17)計(jì)算.

g0=∑

式(17)中h，l按式(18)計(jì)算.

cij 0≤i≤5，0≤j≤3cij+∑i－2k=4cikhkj 6≤i≤8，0≤j≤3∑i－2k=i－5cikhkj i≥9，0≤j≤3l4=ρ324λ40，l5=γ4120λ50，其余l(xiāng)i=0=hij(18)

式(18)中c按式(19)計(jì)算.

c00=c11=c22=c33=1，c41=－k3024λ30，c42=－112，c50=－α5120λ50，c52=－k3030λ30，c53=－120，n≥5時(shí)，cn，n－5=－(α/λ0)5n(n－1)(n－2)(n－3)，cn，n－3=－(n－3)(k0/λ0)3n(n－1)(n－2)，cn，n－2=－1n(n－1)，其余cij=0(19)

3.4 前樁嵌固段冪級(jí)數(shù)解

對(duì)式(7)采用冪級(jí)數(shù)法求解，其樁身內(nèi)力與位移解答的初參數(shù)方程如下：

xz=x2A″1+φ2λ2B″1+M2λ22EIC″1+Q2λ32EID″1，

φzλ2=x2A″2+φ2λ2B″2+M2λ22EIC″2+Q2λ32EID″2，

Mzλ22EI=x2A″3+φ2λ2B″3+M2λ22EIC″3+Q2λ32EID″3，

Qzλ32EI=x2A″4+φ2λ2B″4+M2λ22EIC″4+Q2λ32EID″4(20)

3.5 邊界條件及方程求解

橋梁樁基通常為嵌巖樁，故可設(shè)其樁端邊界條件為嵌固；而樁頂邊界條件根據(jù)工程實(shí)際情況可分為自由、彈嵌、嵌固和鉸支4種，本文假定樁頂自由.

在相鄰兩特征樁段交界處，應(yīng)滿足內(nèi)力與位移連續(xù)協(xié)調(diào)條件.對(duì)前樁可聯(lián)立初參數(shù)方程式(10)，式(15)，式(20)和邊界條件以及各特征樁段之間的內(nèi)力與位移連續(xù)協(xié)調(diào)條件進(jìn)行求解；對(duì)后樁同樣可以聯(lián)立初參數(shù)方程、邊界條件以及樁段之間內(nèi)力與位移連續(xù)協(xié)調(diào)條件進(jìn)行求解，并由樁頂系梁的位移協(xié)調(diào)條件消除軸力N，從而得到雙樁結(jié)構(gòu)內(nèi)力與位移分析的最終解答.

4 算例驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文所提出的冪級(jí)數(shù)解的正確性，采用文獻(xiàn)[6]中算例進(jìn)行驗(yàn)證.某邊坡上橋梁樁基樁長(zhǎng)30 m，樁身混凝土重度γ=25 kN/m3，單位面積極限摩阻力τ=40 kN/m2.滑動(dòng)面以上樁長(zhǎng)l1=10 m，地基抗力比例系數(shù)m1=5 000 kN/m4，嵌入下部穩(wěn)定巖層樁長(zhǎng)l2=20 m，地基抗力比例系數(shù)m2=50 000 kN/m4.樁身直徑為2 m，混凝土彈性模量Ec=1.8×107 kPa.作用于樁頂?shù)暮奢d：軸向力為9 100 kN， 水平力為170 kN， 偏心彎矩為1 000 kN#8226;m， 坡體剩余下滑力合力大小為500 kN.按本文冪級(jí)數(shù)法(利用MATLAB編程)計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)按照有限差分法得到的樁身內(nèi)力與位移結(jié)果如圖3所示.

由圖3可看出樁身內(nèi)力及位移計(jì)算值與算例值變化規(guī)律基本一致，誤差在10%以內(nèi)，表明本文方法合理.

5 影響因素分析

為探討基樁受力的影響因素，假設(shè)某陡坡段橋梁雙樁結(jié)構(gòu)：樁徑為2.0 m，樁身重度γ=25 kN/m3，樁身彈性模量Ec=27.9 GPa.假設(shè)作用于兩樁樁頂荷載相同：豎向荷載P0=5 000 kN，水平荷載Q0=150 kN，偏心彎矩M0=500 kN#8226;m.后樁受荷段9 m，嵌固段17 m；前樁自由段3 m，受荷段7 m，嵌固段16 m.按本文方法計(jì)算分析樁間距、坡體剩余下滑力和地基抗力比例系數(shù)m的影響.

5.1 樁間距對(duì)前后兩樁的影響

為了探討樁間距對(duì)前后兩樁內(nèi)力及位移的影響，現(xiàn)選取3組不同的樁間距(2d， 4d， 6d)，而坡體剩余下滑力的合力和地基抗力比例系數(shù)分別取200 kN和5 MN/ m4，對(duì)其樁身內(nèi)力及位移進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如圖4所示.

由圖4可知，前后兩樁地面處水平位移及樁身最大彎矩隨樁間距增大而增大，但增幅不足10%.

5.2 坡體剩余下滑力對(duì)前后兩樁的影響

在樁間距取4d，地基抗力比例系數(shù)取5 MN/ m4，其他參數(shù)取值不變的情況下，通過(guò)改變滑坡推力大小(100 kN，200 kN，400 kN)來(lái)分析前后兩樁的內(nèi)力與位移的變化，其計(jì)算結(jié)果如圖5所示.

由圖5可知，在100 kN，200 kN，400 kN三種不同的下滑力作用下，后兩者地面處位移較前者分別增加：對(duì)后樁為14.69%和22.77%，對(duì)前樁為13.82%和21.54%；后兩者最大彎矩較前者分別增加：對(duì)后樁為20.00%和31.58%，對(duì)前樁為16.72%和30.51%.顯然，坡體剩余下滑力對(duì)樁身最大彎矩和地面處位移影響較大.因此，對(duì)位于陡坡上的橋梁樁基有必要采取一些邊坡防護(hù)加固措施，以確保樁基安全.

5.3 地基抗力比例系數(shù)m對(duì)前后兩樁的影響

保持其他參數(shù)取值不變，而地基抗力比例系數(shù)m分別取2 MN/m4，5 MN/m4以及7 MN/m4三組數(shù)值時(shí)，計(jì)算結(jié)果如圖6所示.

從圖6可看出，前后兩樁內(nèi)力及位移均隨地基抗力比例系數(shù)增大而減小，當(dāng)?shù)鼗沽Ρ壤禂?shù)m由2 MN/ m4增加到5 MN/ m4時(shí)，地面處后樁水平位移減小74.96%，前樁減小88.09%；而樁身最大彎矩，對(duì)后樁減小51.80%，對(duì)前樁減小49.72%.這就說(shuō)明地基抗力比例系數(shù)對(duì)前后兩樁內(nèi)力及位移的影響明顯，因此，實(shí)際工程設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)慎重取值.

此外，上述計(jì)算結(jié)果還表明前樁樁頂位移較地面處位移增加約50%，前樁地面處樁身彎矩較樁頂彎矩增幅較大(P-Δ效應(yīng))；當(dāng)荷載水平及地基抗力比例系數(shù)相同時(shí)，后樁樁身最大彎矩約為前樁的2倍，樁身最大彎矩作用面近似位于邊坡滑動(dòng)面附近，陡坡上的橋梁樁基同樣具有嵌固深度效應(yīng).

6 結(jié) 論

1) 考慮樁身自重影響，對(duì)陡坡段橋梁雙樁結(jié)構(gòu)的P-Δ效應(yīng)進(jìn)行了深入分析，建立了考慮樁土相互作用的簡(jiǎn)化受力模型；

2) 建立了陡坡段橋梁雙樁結(jié)構(gòu)各特征樁段的平衡微分方程，并采用冪級(jí)數(shù)法對(duì)其內(nèi)力及位移進(jìn)行求解，計(jì)算實(shí)例表明本文計(jì)算方法合理可靠.

3) 影響因素分析表明，前樁P-Δ效應(yīng)較為明顯；前后兩樁樁身內(nèi)力與位移隨樁間距的增大而增大；前后兩樁樁身最大彎矩均位于滑動(dòng)面附近；坡體剩余下滑力大小和地基抗力系數(shù)對(duì)雙樁受力的影響較大；陡坡上的橋梁樁基同樣具有嵌固深度效應(yīng).

參考文獻(xiàn)

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