二次函數(shù)與一元二次方程(一)

摘 要：本節(jié)課是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)北師大版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第二章《二次函數(shù)》第8節(jié)（第70-78頁(yè)），本節(jié)內(nèi)容安排兩課時(shí)完成，主要研究二次函數(shù)和一元二次方程的聯(lián)系。在這一過(guò)程中，教科書(shū)密切結(jié)合現(xiàn)實(shí)背景，強(qiáng)調(diào)意義的理解，使學(xué)生在現(xiàn)實(shí)背景中體會(huì)二次函數(shù)和一元二次方程的聯(lián)系。本節(jié)課為第一課時(shí)，主要探索函數(shù)與方程間的關(guān)系，并獲得方程的圖像解法，從而發(fā)展學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；一元二次方程；課程；教學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2012）03-201-02

一、學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次函數(shù)圖像和代數(shù)表達(dá)式的三種表示方法，其中對(duì)一般式和頂點(diǎn)式做了大量的訓(xùn)練，因此從“數(shù)“的方面對(duì)二次函數(shù)有較為全面的認(rèn)識(shí)，但對(duì)交點(diǎn)式仍然停留在感性認(rèn)識(shí)的成面，通過(guò)本節(jié)課對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的全面而深刻的接觸。另外，學(xué)生以前在對(duì)一次函數(shù)和一元一次方程的學(xué)習(xí)中積累了一些（如一次函數(shù)圖像的應(yīng)用）經(jīng)驗(yàn)，因此可通過(guò)類(lèi)比學(xué)習(xí)法完成新課。

二、目標(biāo)分析

1、教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：理解二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，以及滿(mǎn)足什么條件時(shí)方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，有兩個(gè)相等的實(shí)根和沒(méi)有實(shí)根。

過(guò)程與方法：（1）通過(guò)觀察二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，談?wù)撘辉畏匠痰母那闆r，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。

（2）理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c與直線y=h（h是實(shí)數(shù)）圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過(guò)程，體會(huì)二次函數(shù)與方程之間的聯(lián)系。具有初步的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力及合作意識(shí)。

2、教學(xué)重點(diǎn)：理解二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，及滿(mǎn)足什么條件時(shí)方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，有兩個(gè)相等的實(shí)根和沒(méi)有實(shí)根。

3、教學(xué)難點(diǎn)：理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c 與直線y=h（h是實(shí)數(shù)）圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

四、課前準(zhǔn)備

學(xué)生分組及分工：按照學(xué)生的學(xué)習(xí)水平和能力大小，將學(xué)生分為6組，每組7-8人。每組設(shè)正副組長(zhǎng)各一名，若干個(gè)“師父”，采取一對(duì)一師徒幫教形式。組長(zhǎng)負(fù)責(zé)出題、教題，講題。副組長(zhǎng)還負(fù)責(zé)管理紀(jì)律和計(jì)分等。

五、教學(xué)過(guò)程

1、回味多彩人生，導(dǎo)入新課

設(shè)計(jì)問(wèn)題：（課件展示）我班謝志鵬同學(xué)在10月份校運(yùn)會(huì)上，勇奪鉛球比賽第二名。已知鉛球上拋的高度h(m)與飛行的距離x(m)滿(mǎn)足關(guān)系式：h=-0.03(x-5)2+3，你知道他把鉛球擲出多遠(yuǎn)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生的校園生活中提取上課素材，能拉近數(shù)學(xué)與生活的距離，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，提高學(xué)生上課的積極性。鉛球問(wèn)題的設(shè)置，主要目的是讓學(xué)生從代數(shù)和圖像兩個(gè)方面思考和解決問(wèn)題。

代數(shù)方面，令h=-0.03(x-5)2+3中的h=0，就能將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，求出的x就是擲出的距離。圖像方面，直接觀察圖像就能得出答案。引導(dǎo)學(xué)生注意二者之間是否有聯(lián)系，從而引出新課的學(xué)習(xí)。預(yù)計(jì)用時(shí)：5分鐘

2、自主學(xué)習(xí)、合作探究

（課件展示）二次函數(shù)y=x2+2x，y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的圖象如圖所示。

(1) 每個(gè)圖象與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)？

(2) 一元二次方程x2+2x=0，x2-2x+1=0有幾個(gè)根?驗(yàn)證一下一元二次方程x2-2x+2=0有根嗎?

(3) 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關(guān)系?

（附“交點(diǎn)個(gè)數(shù)、方程的根和判別式三者聯(lián)系”表格）

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)為自主探究，獲取新知的部分。學(xué)生通過(guò)觀察圖像得到每個(gè)圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再通過(guò)計(jì)算方程的根得到根的個(gè)數(shù)，從而得出圖像交點(diǎn)與方程根二者間的聯(lián)系。學(xué)生在此過(guò)程中積極參與探索，多和小組內(nèi)其他同學(xué)進(jìn)行交流，并虛心采納別人合理的意見(jiàn)，老師對(duì)有困難的同學(xué)進(jìn)行點(diǎn)撥。預(yù)計(jì)用時(shí)：8分鐘

3、拋磚引玉

判斷下列拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)情況

(1) y=x2-x+3

(2) y=x2+2x-8

(3) y=x2+4x+4

解：(1)∵交點(diǎn)在x軸上，

∴它們的縱坐標(biāo)為0，

∴令y=0，則x2-x+3=0

Δ=b2-4ac<0

∴此拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)

(2)x2+2x-8=0，Δ=b2-4ac>0，兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(-4，0)，(2，0)

(3)x2+4x+4=0，Δ=b2-4ac=0，交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2，0)

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)為應(yīng)用新知，解決問(wèn)題的部分，學(xué)生通過(guò)前面的學(xué)習(xí)掌握了交點(diǎn)個(gè)數(shù)、方程的根和判別式三者聯(lián)系，例題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想探究拋物線與x軸的交點(diǎn)情況。預(yù)計(jì)用時(shí)：5分鐘

4、全員大練兵

要求：組長(zhǎng)每次出一道題，并叫一名組員在黑板上做。每位組員完成本組組長(zhǎng)所出題目，有時(shí)間再自選別組題目做。組長(zhǎng)負(fù)責(zé)輔導(dǎo)組員完成練習(xí)。組員做完后，組長(zhǎng)還需講題。

1組：已知函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)在y軸左側(cè)，拋物線開(kāi)口向下，求此交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

2組：判斷下列各拋物線是否與x軸相交，如果相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)。

（1）y=6x2-2x+1"" （2）y=x2-14x （3）y=x2-4x+4。

3組：已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖1所示。

①這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是y＝______；②當(dāng)x＝______時(shí)，y＝3；③根據(jù)圖象回答：當(dāng)x______時(shí)，y>0。

圖1

4組：關(guān)于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象有下列命題，其中是假命題的個(gè)數(shù)是（ ）

①當(dāng)c＝0時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)； ②當(dāng)b＝0時(shí)，函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；

③函數(shù)的圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是；

④當(dāng)c>0且函數(shù)的圖象開(kāi)口向下時(shí)，方程ax2+bx+c＝0必有兩個(gè)不相等的實(shí)根（ ）

A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)

5組：已知拋物線y=x2+px+q與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（-2，0），（3，0），則p=""" ，q="""""" 。

6組：已知拋物線y＝ax2+bx+c如圖3所示，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c－8＝0的根的情況是

圖3

A. 有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根B. 有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根

C. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D. 沒(méi)有實(shí)數(shù)根

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)為學(xué)生自主學(xué)習(xí)部分，由組長(zhǎng)出題，同學(xué)做題的模式能充分調(diào)動(dòng)同齡人間的積極性和競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)，提高學(xué)習(xí)效率。當(dāng)學(xué)生碰到困難時(shí)，可向同學(xué)、“師父”或組長(zhǎng)求助，開(kāi)展互幫互助，爭(zhēng)取在課堂上就解決難題。老師在此過(guò)程中巡回指導(dǎo)并適時(shí)進(jìn)行點(diǎn)撥。預(yù)計(jì)用時(shí)：20分鐘

5、隨堂測(cè)試

(1) 二次函數(shù)y=x2-2x+2的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)有幾個(gè)？與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)呢？

(2) 拋物線y=ax2+3x-1與x軸交于兩點(diǎn)，則a的取值范圍是 ( )

A. a>0 B. a>-4/9 C. a>-9/4 D. a>-9/4且 a≠0

(3) 拋物線y=2x2-(m-1)x+m+5的頂點(diǎn)在x軸上，則m=________。

思考題：已知拋物線y=x2-(2m-1)x+m2-m-2

（1）此拋物線與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)？試說(shuō)明理由；

（2）分別求出拋物線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)為檢測(cè)反饋部分，及時(shí)掌握學(xué)生情況，以做到查漏補(bǔ)缺，為下節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)提供參考。預(yù)計(jì)用時(shí)：7分鐘

6、作業(yè)布置：

（1）組長(zhǎng)出1-2道與本課所學(xué)相關(guān)的題目給組員，明天收和改，做在作業(yè)本上。

（2）分A、B、C三層完成期末復(fù)習(xí)試卷。

設(shè)計(jì)意圖：組長(zhǎng)在生活中選取素材出1-2道題目，讓組員鞏固所學(xué)知識(shí)。另外，由于期末臨近，分層布置期末復(fù)習(xí)作業(yè)，學(xué)生能根據(jù)自身情況完成作業(yè)，不至于負(fù)擔(dān)重?zé)o法完成作業(yè)，任務(wù)輕松點(diǎn)就能極大地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

六、教學(xué)反思

1、讓數(shù)學(xué)回歸生活，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)就在自己的身邊

教學(xué)時(shí)把學(xué)生經(jīng)歷過(guò)和感受過(guò)的故事、情景、游戲等生活經(jīng)驗(yàn)作為數(shù)學(xué)內(nèi)容的背景材料，能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)不是枯燥空洞的，數(shù)學(xué)就在身邊，在自己的生活中，從而體會(huì)到數(shù)學(xué)的趣味和作用。

2、體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)和探索權(quán)還給學(xué)生

新課標(biāo)指出：“動(dòng)手實(shí)踐、自主探索和合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要學(xué)習(xí)方式?！痹谡?jié)課上，我充分發(fā)揮學(xué)生的合作與交流、體驗(yàn)與感悟，注重讓學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程。

3、要營(yíng)造平等、民主、和諧的師生關(guān)系和生生關(guān)系

課堂上要尊重個(gè)性差異，關(guān)注每一個(gè)學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，敢于質(zhì)疑，大膽嘗試，樂(lè)于交流與合作，在學(xué)習(xí)活動(dòng)中嘗到成功的喜悅，建立自信心。