《反比例的意義》課堂實錄與評析

摘 要：采用了開放式的探索互動，讓學生在導學案獨立思考基礎上，小組合作探究、互動交流，目的在于充分發揮學生的學習主體作用，挖掘學生的內在潛能，激發學生的探究興趣，促使學生通過自主學習、合作互助而在探究中學習、在探究中鍛煉、在探究中成長。

關鍵詞：課堂；教學；實例；評析

中圖分類號：G632.3 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）03-191-03

一、選課簡介

本課時選自蘇教版小學數學（六下）《5 正比例與反比例》，是在學生已學習了比和比例、正比例的意義和能根據正比例的意義判斷兩種相關聯的量是否成正比例等知識的基礎上進行教學的，主要讓學生通過嘗試、比較、遷移、歸納、實踐等過程結合實際情境認識成反比例的量，是本單元的教學重點之一。

通過學習這部分知識，還可以繼續幫助學生加深對過去學過的數量關系的認識，進一步學會從變量的角度來認識兩個量之間的關系，進一步體會函數的思想。

二、教學目標

1、結合實際情境認識成反比例的量，能判斷兩種相關聯的量是否成反比例；

2、 體會數量之間相依互變的關系，感受有效表示數量關系及其變化規律的數學模型；

3、 體會數學與日常生活的密切聯系，增強探索數學知識和規律的意識，培養自主學習能力，提高自信心。

三、教學重點：初步理解反比例的意義。

四、教學難點：判斷兩種相關聯的量是否成反比例。

五、教學過程

韋：（板書課題）今天，我們來學習一下《反比例的意義》。請大家拿出導學案，明確一下學習目標（生齊讀）。

〖評析：開篇點題，明確可操作性的學習目標，使學習有了針對性，導向性增強了；經過一年多的觀摩、實踐、改進，小老師已積累了一些經驗，頗具老師的“范”，本課時的教學開篇直接、引領性強。〗

龔：我們先分配任務（略）。

韋：下面分組討論。

（分組討論中——小組討論熱烈有序；執教老師、兩位小老師下到各組巡視并加入小組討論；執教老師和小老師間也有交流；時間大約5分鐘。）

〖評析：兩位小老師配合默契、分工明確；各小組學習任務的配給合理、清晰；巡視中能與不同任務的學習小組進行交流互動，引領性強，彰顯課前準備充分。〗

韋：討論完畢。（待安靜后）現在請第一小組展示——

胡：大家好！我們“朗朗小組”負責匯報的是“前期測試”。

張：（投影導學案，指讀）一、前期測試1.兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的商（也就是比值）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做成正比例關系。如果用字母x和y表示兩種相關聯的量，用k表示它們的比值（一定），正比例關系可以用下面的式子表示：=k（一定），也可以是x：y=k（一定）。（舉例）如我們班訂《青少年報》，訂的份數越多，所需要的錢數越多；所需要的錢數除以訂的份數等于每份《青少年報》的價格，而《青少年報》的單價是一定的，所以我們班訂《青少年報》所需要的錢數和訂的份數成正比例，它們是正比例關系。請問大家有什么疑問嗎？（生無質疑）

韋：等會，（手指向大屏幕）在正比例的意義中，我們一定要區分成正比例的量與成正比例關系，不要問量的時候，你填成關系，懂嗎？（見同學點頭無疑問，示意展示繼續）

張：請大家一起讀一遍。（引領生齊讀）

胡：（投影導學案）2.判斷兩種相關聯的量是否成正比例的關鍵是看兩種量中相對應的兩個數的商，也就是它們的比值，是一定的。像剛才張寶文說的（在導學案上補充：=單價（一定）），我們就可以判定我們班訂《青少年報》所需要的錢數和訂的份數成正比例，它們是正比例關系。

師：我有補充。同學們請看一下（手指向大屏幕），用含字母的式子表示正比例意義的時候，字母x和y表示兩種相關聯的量。剛才這兩位同學，一位同學用的是=k（一定），另一位同學在屏幕上給的是=k（一定），在這里，字母x、y是符號，只是代表兩種相關聯的量，兩位同學的表示方法都是可以的。一般我們約定：如果用字母x和y分別表示兩種相關聯的量，用k表示它們的比值，正比例關系可以用式子=k（一定）來表示。

胡：請問大家對我們負責匯報的“前期測試”還有什么疑問？（眾生答：沒有。）朗朗小組展示完畢。（兩位代表鞠躬回位，眾生掌聲響起。）

韋：下面由第二小組開始展示——

袁：大家好！我們“洋洋小組”負責匯報的是“探索新知”第1小題。⑴長征造紙廠的生產情況如表一。下面它給出的條件是生產量和時間。時間增加，生產量隨著增加，生產量和時間是兩種相關聯的量。70÷1 = 70； 350÷5 = 70。可見，生產量除以時間的商是一定的，所以，生產量和時間成正比例關系。因此，表中的空格，上面一行依次是3和4，下面一行依次是140和420。

蔡：⑵某輛汽車所行速度和路程的情況如表二。它這里是說“速度”和“路程”，我們知道： = 時間，表格中80÷40 = 2；160÷80 = 2，時間一定。我們判斷路程和速度成正比例關系。因此，得出數據如表。

韋：所以表一和表二中各自的兩種量之間是成什么關系？

蔡：表一表二中各自的兩種量都成正比例關系。

韋：對，謝謝！請繼續。

蔡：⑶看一本書，每天看的頁數和所看的天數如表三。我們知道，它這里所說的“每天所看的頁數”乘“所看的天數”的積，就等于一共所看的總頁數，也就是這本書的總頁數。所以說，第1列的48乘4的積192就是這本書的總頁數。反過來，第2列，192除以2得到每天看的頁數是96；第3列，192除以8得到每天看的頁數是24。

袁：表四給出總價是60元，根據數量×單價 = 總價的數量關系式變形可以很快算出第3列的單價是3；第4列的數量是15；第5列的數量是10。在這里，單價和數量是兩種相關聯的量，單價×數量 = 總價，而總價60元是不變的。根據上面的條件，這道題是成反比例關系。（眾生掌聲響起。）還有什么問題嗎？

（掌聲中見無人質疑）師：好，我來補充一點。袁修文同學的步子邁得很快，一下子看到后面去了。成反比例關系，我們指的是兩種相關聯的量成反比例的關系，而不是這道題成反比例關系。下次說的時候請注意一下。隨著我們學習的深入，希望同學們要特別注意這一點。至于究竟什么是反比例，反比例和正比例有什么區別，請下面匯報的同學來說明。

袁、蔡（鞠躬）：洋洋小組展示完畢。（眾生鼓掌）

〖評析：學生匯報中，涉及到抽象概念時均能輔之與實際情境、生活數據等加以說明，使展示生動形象，體現生活中的數學，更好地增強了互動交流的有效性；小老師能及時抓住關鍵提醒，可見有一定功底。〗

韋：好，下面有請第三小組——

黃：上面四份表格里，一組和二組各自出現的每組數量都成正比例關系，三、四組則不是。因為y和x是兩種相關聯的量，而y比x等于k一定，所以x和y成正比例。例如第一組，x是時間，y是生產量，k是生產效率，因為70÷1 = 70，140÷2 = 70，商一定，也就是生產效率一定，所以生產量和時間成正比例。（生贊同表情者眾）

白：問題二： 上面表格里，不成正比例關系的兩個量變化規律是怎樣的？

張惠：在這比例的式子里，反比例的式子里，x乘y等于k一定，每天看的頁數乘所看的天數等于這本書的總頁數，一定；單價乘數量等于總價，一定。

白：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量。

韋（插入）：這里的積一定，積不能為0。這樣，第一種量和第二種量才能相對應。

師：同學們一起幫她回憶這道題的題目是什么？

生齊讀：上面表格里，不成正比例關系的兩個量變化規律是怎樣的？

師：上面的四張表格，哪些表格里的兩種量是不成正比例關系的兩種量？

生齊答：表三表四。

師：好，我們來分析一下表三。表三當中的兩種量，它的變化規律是怎樣的？

（學生小聲交流，見韋琳曼示意，執教老師同意她發表意見。）

韋：表三的變化規律是“所看的天數”總是隨著“每天看的頁數”的變化而變化的。

師：“所看的天數”總是隨著“每天看的頁數”的變化而變化，意味著這兩種數量是……

韋：相關聯的量。

師：非常好！繼續。

韋：表示它的變化規律是這樣的，當“總價”一定的情況下，“數量”總是隨著“單價”的變化而變化。

李：當“總價”一定，“單價”和“數量”是兩種相關聯的量，“單價”變化的時候，“數量”也要隨著“單價”的變化而變化。

師：“單價”怎樣的變化，會導致“數量”怎樣的變化？小組的同學可以小聲地交流一下。

（同學們分組交流）

韋：有哪位同學可以代表小組來發言？

楊：我們組得出的結論是，當“單價”提高的時候，“數量”就減少了，

師示意楊凱凡上屏幕前再次講述。

楊：“單價”和“數量”是兩種相關聯的量，而它們的“總價”是一定的，這里算出來它們的“總價”是60元，“單價”是1元時，就可以買60本書；而“單價”從1元增加到2元時，它的“數量”就變成了30本，然后“單價”增加到3元時，“數量”就減少了20本——

師：是減少20本，還是變成20本？

楊：變成20本。然后呢，隨著這個規律變化下去，我們組得出的結論就是，它的“單價”變得越來越高的時候，它們的“數量”就會越來越少。

師：所以，這兩種數量是——

楊：成反比例。哦，相關聯的量。謝謝老師的提醒。（眾生掌聲響起）

陳：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。如果用字母x和y表示兩種相關聯的量，用k表示它們的積（一定），反比例關系可以用下面的式子表示：x×y=k（一定）。還有沒有什么疑問？（生答：沒有）

陳：大家一起齊讀一遍。（生齊讀）

師：好。對“反比例的意義”，同學們還有什么疑問？（眾生答：沒有。）那回過頭，我再補充兩點，同學們看一下剛才“探索新知”里的表格四，回憶一下剛才楊凱凡同學的回答，他說到了兩種量的變化規律，指的是“單價”和“數量”它們之間的變化規律。那么，除了這兩種量是相關聯的量以外，我們要說明它們是反比例的關系，還需要考慮什么？

有生答：積一定。

師追問：考慮什么？什么一定？

眾生答：積一定。

師：在表格四當中，我們還需要考慮“單價”乘“數量”得到的積，也就是這里的“總價”是一定的情況下，我們才能說，表格當中的“單價”和“數量”是成反比例的量。

陳：書樂小組展示完畢。（眾生掌聲響起。）

〖評析：書樂小組的匯報內容是本課時的學習重點，理論性概念，比較抽象，在交流互動中，匯報的同學、質疑的同學及小老師，乃至執教老師均能聯系實際例子，從不同的關注角度用心幫助大家明確、清晰概念。〗

龔：下面請第四組來展示——

王：上表中，運貨需要的天數和每天運的噸數是兩種相關聯的量。

馬：求每組對應數量的乘積，我運用了前四個的例子，用300去乘1等于300，150乘2等于300，100乘3等于300，75乘4等于300。

王：最后，我們得出來的結論是：運貨需要的天數和每天運的噸數成反比例。還有什么疑問？（生搖頭表示沒有疑問）

馬、王（鞠躬）：博望小組展示完畢。（眾生掌聲響起）

〖評析：“博望小組”再次聯系實際例子通過匯報展示引領大家重溫判斷兩種量成反比例的思維過程和方法，在形象數據中抽象方法。〗

韋：好，下面有請第五小組進行展示——

林：問題一，判斷兩種相關聯的量是否成反比例的關鍵是什么？答，關鍵是兩種相關聯的量中相對應的兩個數乘出來的積一定的話，它們就可以成為反比例。還有什么問題？（生搖頭示意沒有疑問）

李：判斷兩種相關聯的量是否成反比例的關鍵是1.這兩種量是否是相關聯的量；2.一種量變化，另一種量是否也隨之變化；3、兩種相關聯的量是否一定。

林：我覺得它們的相同點就是正比例的量和反比例的量，它們的積或商都是一定的，還有，它們相關聯的量會同時擴大或縮小。

鐘穎質疑：如果會同時擴大或縮小，那應該是正比例關系。

師：好，誰來幫幫她，看這道題怎樣來回答會比較好一些？

張：相同點應該說得數是一定的，就是數量關系式中的k是一定的，

陳：相同點是一種量變化，另外一種量也隨著變化；而不同點呢，正比例是比值一定，而反比例是積一定。

李：相同點，它們都是相關聯的量，不同點，正比例，它的變化方向是相同的，一種量擴大，另一種量也隨著擴大，一種量縮小，另一種量也隨著縮小；反比例，它的變化方向是相反的，一種量擴大，另一種量反而縮小，一種量縮小，另一種量就擴大。（生鼓掌）

師：剛才，李凱倩同學的回答是比較完整的，再融入陳鶯丹同學的回答就完整了。同學們可以再在組內交流完善。（各組內交流完善）

林：正、反比例的相同點是正、反比例中的兩種量都是相關聯的量；不同點，它的變化方向是相同的，一種量擴大，另一種量也隨著擴大，一種量縮小，另一種量也隨著縮小，無論兩種量怎樣變化，它們的比值一定；反比例，它的變化方向是相反的，一種量擴大，另一種量反而縮小，一種量縮小，另一種量就擴大，無論兩種量怎樣變化，它們的積一定。（師點頭贊同，生鼓掌）

龔：請第五小組繼續展示。

李：請你寫出一組成反比例關系的量，并說明理由。我寫出的是：每天所讀的頁數和需要的天數，如果每天讀的頁數是300頁的話，需要讀的天數是1天；如果每天讀的頁數是150頁的話，需要的天數就是2天，然后以此推論，每天讀的頁數是100頁的話，需要的天數就是3天；如果每天讀的頁數是75頁的話，需要的天數就是4天……這組相對應的量的積一定，所以成正比例關系。請問還有什么問題嗎？

師：成正比例關系？

眾生答：反比例關系。

執教老師：誰和誰成反比例關系？

李：一本書的總頁數一定，每天讀的頁數和需要的天數成反比例關系。

師：她說的對嗎？

眾生響亮地答：對！（眾生鼓掌）

林、李（鞠躬）：新銳小組展示完畢。（眾生鼓掌）

〖評析：在辨析中，學生聯系已有知識和經驗，明確了正、反比例的異同，更好地理解概念的同時，也更熟悉了判斷兩種相關聯的量是否成反比例的方法及思維過程。〗

韋：好，下面有請第六小組進行展示——

林：判斷下面兩種量是否成反比例？

蔡：圖上距離一定，實際距離和比例尺。

林：這道題應該是對的。因為實際距離來除以比例尺等于圖上距離，是跟反比例的例子是一樣的。

韋：大家請翻到比例尺的內容，數學課本P48，（投影課本）它這里是圖上距離比實際距離等于比例尺，經過公式變形，那就實際距離乘比例尺等于圖上距離，懂嗎？（有生答：懂。）所以這道題是對的。

師：你只要知道實際距離乘比例尺等于圖上距離就可以了嗎？這樣就能說明它們兩種量成反比例關系了嗎？

（見有生疑惑）師：前面我們講過，判斷兩種量成反比例關系的關鍵是什么？

林：圖上距離一定，實際距離乘比例尺的積一定，這兩種相關聯的量成反比例關系。

師：實際距離乘比例尺等于什么？（生答：圖上距離）剛才你說了，圖上距離是——（生答：一定的），那么實際距離和比例尺這兩種量是否成反比例關系？（生答：反比例關系）這道題是對的還是錯的？（生答：對的。）同學們還有什么疑問？（見生無質疑，示意匯報繼續）

蔡：兩個數的和一定，一個加數和另一個加數。

林：這一道題應該是錯的。因為反比例的例子的前提是乘法，而這道題是加法。

蔡：長方形的面積一定，長方形的長和寬。

林：因為長方形的面積等于長方形的長乘長方形的寬，由于長方形的面積一定，所以長方形的長和寬成反比例的關系。

蔡：請問還有疑問嗎？（無人質疑）一個正方形的邊長和周長。

林：這道題是錯的。因為正方形的邊長和周長不相關，所以這道題應該是不成比例。請問同學們還有什么疑問？（生答：沒有）

林、蔡（鞠躬）：趣味小組匯報完畢。（生鼓掌）

〖評析：“牛刀小試”是對本課時重點內容的加深、難點突破的鞏固，興趣小組的代表匯報表現好。〗

韋：下面就進入“課堂大練兵”環節。請小組長趕快貼題，然后大家拿出課堂練習本做題 （六個組長出題，同學們在練習本上做練習；組長指名組員板演，組長與其余組員小聲互動；按組的順序組長點評。）

〖評析：組長出題，組員練習，組長點評，這生生互動的練習模式擴大了練習面，將單一的知識性練習變成了多維綜合素質的互動交流，使學生的綜合素質得到了提升。〗

龔：這節課你有什么收獲？還有什么疑問？請分組交流。

【課后感想】《反比例的意義》是在學生學習了正比例意義的基礎上進行的數學概念探究學習，主要讓學生結合實際情境初步理解反比例的意義，學會根據反比例的意義判斷兩種相關聯的量是否成反比例。由于學生有了前面學習正比例的基礎，加上正比例與反比例在意義上研究的時候存在有一定的共性，因此學生學得比較輕松。導學案中的前期測試是促使學生重溫正比例的意義及判斷兩種相關聯的量是否成正比例的關鍵，為知識的遷移比較作準備。探索新知的四張表，結合實際情境填表和問題一二的設計，目的是聯系舊知、滲透難點，讓學生主動、自覺地去觀察、分析、概括、發現規律；在此基礎上來揭示反比例的意義及判斷步驟的明確，就顯得水道渠成了；作為提高，問題的設計涉及到了正反比例的比較，讓部分學有余力的學生提前跳高一點，加強了知識的內在聯系，通過區別不同的概念，鞏固了知識；最后是依托題目、依托實例的靈活運用，加深學生對反比例意義的理解。