對高中數(shù)學(xué)課程中向量的研究

摘 要：向量，具有代數(shù)和幾何的雙重屬性，引入高中課程，對傳統(tǒng)的教育模式以及課程結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了很大的沖擊和影響，尤其是空間向量引入立體幾何，表現(xiàn)得更加突出，這一點一線的教育工作者體會得尤為深刻。本文歸納總結(jié)了數(shù)學(xué)解題中向量法的解題思想方法，比較分析了向量法與傳統(tǒng)法的優(yōu)勢和不足，辯證地對待二者的地位和作用。

關(guān)鍵詞：向量；數(shù)學(xué)課程；建議

中圖分類號：G632.0 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）03-146-01

向量具有代數(shù)與幾何的雙重特性，因而成了代數(shù)學(xué)與幾何學(xué)這兩門傳統(tǒng)中學(xué)數(shù)學(xué)課程的匯合點。現(xiàn)代中學(xué)數(shù)學(xué)課程的編制趨勢是，由以往的分科制普遍轉(zhuǎn)變?yōu)榛炀幹疲蛄績?nèi)容即為這種混編制的教材體系提供了有力的支持。向量能夠簡化三角、平面幾何、立體幾何、線性方程組及矩陣中的許多運算和證明，能夠?qū)?fù)數(shù)運算的幾何意義及多種幾何變換作出合理的解釋，這使向量成為除函數(shù)之外能夠貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)許多章節(jié)內(nèi)容的另一條主線，從而使這些知識在向量的聯(lián)系下實現(xiàn)了有機的統(tǒng)一。下面談一談向量法解題的思想策略以及向量法與傳統(tǒng)法比較的優(yōu)勢和不足。

一、向量法解題的思想策略

1、平移變換的思想方法

平移變換是研究函數(shù)圖像或幾何圖形的一種重要的思想方法。通過適當(dāng)平移可以使較復(fù)雜的函數(shù)解析式得到簡化或某些幾何圖形中的隱蔽關(guān)系更趨明朗。在向量一章中，相等向量、平行向量、共線向量等概念的建立及其相關(guān)作圖的訓(xùn)練，作為向量知識的一個應(yīng)用—平移公式的推導(dǎo)，以及運用平移公式解決有關(guān)問題，均是這一思想方法的體現(xiàn)。這里注意：平移公式揭示的是沿著向量平移后，前后坐標(biāo)的變化關(guān)系，它并不適合向量平移的規(guī)律。向量平移后仍然與原向量相等。

2、映射思想方法

映射思想：當(dāng)處理甲問題有困難時，可以聯(lián)想適當(dāng)?shù)挠成洌褑栴}甲及其關(guān)系結(jié)構(gòu)，映射成與它有一一對應(yīng)關(guān)系且容易處理的問題，再把所得結(jié)果通過逆影射返回到原來的問題中去，得到原問題的解決方案。例如建立適當(dāng)坐標(biāo)系，把向量利用坐標(biāo)表示，利用數(shù)的運算推理解決問題。

3、分類討論的思想方法

分類討論思想主要依據(jù)數(shù)學(xué)對象的不同屬性，將數(shù)學(xué)對象分為不同情形并對其研究得結(jié)論的數(shù)學(xué)思想方法。向量知識中，如平行向量有同向與反向之分；定比分點公式中λ的取值等等。

4、方程的思想方法

向量雖然有其幾何的意義，但其運算律卻是代數(shù)的，因此，我們在處理向量問題時對于求解某向量或判別向量關(guān)系的問題，可以借助方程的工具，利用消元的方式達到解決問題的目地。在采用這種思想方法時，要注意基本向量的選擇。基本向量的選擇是根據(jù)題目的特征確定的。同時要注意基本向量是線性無關(guān)或彼此獨立的條件下向量，通常將同一頂點出發(fā)的若干向量作為基本向量。平面向量的基本定理給出了選擇基本向量的一種方法。

5、公式化思想方法

所謂公式化思想方法是指把問題中反映的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量中的等量關(guān)系，借助向量知識實現(xiàn)簡化問題，求解問題。例如：兩向量相等的充要條件的坐標(biāo)表示形式即“兩向量相等兩向量的坐標(biāo)相同”，利用此公式，在處理向量相等時，只須分析它們的坐標(biāo)是否相等即可。

向量法與傳統(tǒng)法比較的優(yōu)勢和不足

1、向量法的優(yōu)勢

向量法在解決直線與直線平行、垂直關(guān)系的論證、空間角和距離的計算上有著獨特的優(yōu)勢，它可以很大程度上避開思維的高度轉(zhuǎn)換，避開了各種輔助線添加的難處，代之以向量的坐標(biāo)運算，更使得艱澀繁雜的立體幾何問題變得思路通暢、運算簡單，特別是用數(shù)量積求異面直線所成角、距離等問題，體現(xiàn)了向量解法的強大功能。

2、向量法解題的不足

向量法比較巧妙，但是并非所有問題都可以利用向量來解決，不能為了用向量運算解題，甚至人為地用向量運算卻給解題帶來了不必要的麻煩，無形中也挫傷了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

運用向量解題需要注意：建立合適的坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)系的原則是使圖形中的點盡可能多的在坐標(biāo)軸上。運用向量法解決空間角和空間距離的問題，實現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化，即將復(fù)雜的幾何證明轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，從而避免了幾何作圖，減少了邏輯推理，降低了難度。但公式的應(yīng)用也有一定的局限性一般地，在能建立空間直角坐標(biāo)系的情況下，利用向量法較為簡單。

反思以及建議

1、向量解題監(jiān)控能力的培養(yǎng)

使學(xué)生養(yǎng)成反思的習(xí)慣，包括解題中的對問題表征的反思，對策略選擇的反思、對模式識別的反思、對推理過程的反思，也包括解題后對問題及方法的反思。解題中的反思目的在于調(diào)節(jié)自我行為;解題后的反思目的在于知識積累與擴充，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因而，教師在教學(xué)中結(jié)合解答過程應(yīng)表現(xiàn)出明確的反思行為，使這種外部行為逐步轉(zhuǎn)化為學(xué)生的內(nèi)部行為。

2、體現(xiàn)學(xué)生的主動學(xué)習(xí)原則

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，人類的知識學(xué)習(xí)不是主體對于客觀實在的簡單的被動反映，而是一個主動的建構(gòu)過程；一切知識的學(xué)習(xí)都必須經(jīng)過主體根據(jù)己有知識和經(jīng)驗進行理解、加工，并構(gòu)建自己的意義后才能被納入到主體已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。

向量進入高中數(shù)學(xué)，是新課程改革的必然，對高中數(shù)學(xué)教師尤其是脫離高等數(shù)學(xué)時間較長的教師來說，則是一個挑戰(zhàn)。數(shù)學(xué)教師除了適應(yīng)課改的要求，及時更新教學(xué)理念外，還應(yīng)需要接受系統(tǒng)培訓(xùn)，才能更好地完成向量的教學(xué)任務(wù)。