如何解決高中數學中的導數問題

摘 要：導數作為研究函數、曲線的重要工具，為解決曲線和切線，函數的單調性、極值、最值、函數不等式及函數的參數值提供了更有效的途徑和更簡便的手段，加強了對函數及其性質的深刻理解和直觀認識，

關鍵詞：導數；函數；曲線；方程；不等式；斜率；極值；最值；參數

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）03-145-01

導數是高中數學的重要內容，是高考的重點考查對象，是函數、曲線、方程、不等式知識網絡的交匯點。導數的應用主要在幾個方面。

一、求曲線的切線：導數的幾何意義為切線斜率

例1：過點（1、3）作曲線y＝作切線，求切線方程。

解：設切點為（m、）則y′＝得＝

解得m＝3、＝2

∴切點為（3、2）切線斜率k＝=－

切線方程為：y－2＝－（x－3）即x＋2y－7＝0

二、求函數的最大值與最小值

在閉區間［a、b］上連續的函數f（x）在[a、b]上必有最大值與最小值。求f（x）在［a、b］上的最大值與最小值的步驟如下：

（1）求f（x）在（a、b）內的極值

（2）將f（x）的各極值與f（a）、f（b）比較，其中最大的一個是最大值，

最小的一個是最小值。

例2：已知函數y＝ 最大值是M，最小值是m，求

解：函數定義域x∈［－3、1］

y′＝＝

令y′＝0得，得x＝－1，

由f（－3）＝2，f（－1）＝，f（1）＝2

∴M＝f（－1）＝，m＝f（1）=2，

三、證明函數不等式：求函數最大值或最小值的應用

例3：已知f（x）＝ln（x＋1）－x，當x＞－1時

求f（x）的單調遞減區間

證明：≤ln（x＋1）≤x

解：①函數定義域為（－1、＋∞），f′（x）＝＝

令f′（x）＜0，得＜0

解得x＜－1或x＞0，因為定義域x∈（－1、＋∞）

∴f（x）在（0、＋∞）上為單調減函數

②證明：由①知當－1＜x＜0時，f′（x）＜0

當x∈（0、＋∞）時，f′（x）＜0

∴當x＞－1時，f（x）≤f（0）

即ln（x＋1）－x≤ln（1＋0）－0

∴ln（x＋1）－x≤0，ln（1＋x）≤x

令g（x）＝ln（1＋x）＋

則g′（X）＝－＝

當x＜0時，g′（x）＞0，當－1＜x＜0時，g′（x）＜0 ∴g（x）≥g（0）， ln（x＋1）≥

綜上可知：當x＞－1時，有≤ln（1＋x）≤x

四、確定方程根的個數，函數極大值，極小值的應用

例4：問C為何值時，方程＝0有三個不同的根。

解：由方程＝0，得＝－C

令f（X）＝

f′（X）＝＝3（x＋3）（x－1），令f′（x）＝0得x1＝－3，x2＝1

y極大值＝f（－3）＝27，y極小值＝f（1）＝－5

x(－∞、－3)－3(－3、1)1(1、＋∞)

y′(x)＋0－0＋

y(x)↘極大值↗極小值↘

∴5＜－C＜27，∴C∈（－27、5）.