例談角色換位在解題中的應用

摘 要：數學解題的思維方式有很強的靈活性，這種靈活性常常要求克服思維定勢，結合題目的特點，適當調整視角。其中使題目中的元素進行“角色換位”就是一種有利于某些中學數學問題的解決方法。

關鍵詞：換位；中學數學；解題

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）03-135-02

“角色換位”是中學數學一種重要的解題方法，下面從五個不同的方面例談對這種方法的應用。

一、已知與未知換位

例1：解方程.

分析：直接求解三次方程，有一定難度，但注意到系數特點為了“降次”，可令，使方程的系數（已知）與（未知）換位，則方程可化為

解得或

再將代入求得

或

二、整體與個體換位

例2：設四個數，其中每三個數之和分別為25，30，27，23。求這四個數。

分析：設這四個數分別為，列方程組雖可求解，但過程不簡。若換位思考，撇開個體，著眼整體則簡而易行，設四個數的和為，由題設可得：

可解得，

四個數分別為5、8、12、10.

三、動態與靜態換位

例3：長軸為，短軸為的橢圓在第一象限個滾動且與軸，軸相切，求橢圓中心的軌跡。

分析：橢圓滾動，其方程不定，點滿足的關系不明朗。若視橢圓不動，坐標系相對橢圓運動，題目可變為：求橢圓的相互垂直的兩條切線的交點軌跡。

由此可設兩切點坐標分別為，，則兩切線方程為

兩切線垂直，

由①②聯立解得兩切線交點坐標并用③化簡得

可見原點間的距離始終為定值，則所求橢圓中心的軌跡方程，其軌跡是一段圓弧。

四、變量與參數（常數）換位

例4：已知，若使至少有一個實根，求的最小值及取得最小值時的值。

分析：本題代數法較復雜，數形結合又遇平面區域問題，困難不小。若調整參數與變量的位置，則可看作原點到直線上某點距離的平方，由此設。

由得，而原點到該直線的距離為，

則易證上是增函數，

所以

即時

五、數學與物理換位

例5：求的值。

分析：數學知識應用于物理是司空見慣的，而通過巧妙構思，用物理知識求解數學問題也有其獨特之處。對本題考慮5個大小均為1的共點力F（1、2、3、4、5），使落在軸上，每相鄰兩

力夾角為，如圖1所示，因為合力為零，則它的在軸上的分力之和也為零，所以