中學數學探索性合題的探究

摘 要：在解決數學問題中不僅要有扎實的數字基礎知識，還要有敏銳的觀察力，豐富的想象力，嚴謹的邏輯推理歸納 綜合能力，分析問題和靈活運用數字知識解決實際問題的能力。

關鍵詞：探索性；案例

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）03-072-01

在初等數學中，經常討論研究對象的存在性和唯一性，或結論未給出，先探索結論，后加以證明。如平面幾何中過已知直線外名一點能且只能作一條直線與已知直線平行，立體幾何中兩條相交直線可以確定一個平面，又是否存在這樣的函數，它的圖象既關于原點對稱，又關于y軸對稱，是否存在三個互不相等的實數a、b、c，使得a、b、c成等差數列，同時 ， ， ，也成同等差數列等都是探索性問題。每年高考也經?？疾焯剿餍詥栴}，這類命題對學生的分析問題與解決問題的能力要求較高，學生要有較扎實的基本功底才能順利解決這類問題。

常見的探索性問題大致可以分為如下兩類：一是判斷符合某種條件的數字對象是否存在或某結論是否成立，另一類結論未給出的問題，解題時首先要探索結論，而后加以論證。

一、“是否存在”或“是否成立”的問題。命題所研究的對像可能存在或成立，也可能不存在或不成立，或者在一定條件下存在或成立，在某種條件下不存在或不成立。

例1、已知函數5（x）=x- p2+p+ （P∈E）在區間（0，+∞）上是增函數且在其定義域內是偶函數。

（1）求p 的值，并寫出相應的函數5（x）的表達式。

（2）對于（1）中求得了5（x），設函數y（x）=λ[5（x）]2+（2λ-1）5（x+1），問是否存在負數λ，使得y（x）在區間（-∞，-4）上遞減，且在（-4，0）上遞增？若存在，求出入值，若不存在，說明理由。

解(1)由5(x)在(0，+∞)上遞增可知 - p2+p+ ＞0 -1＜p＜3又P∈E，P=O，1，2，若P=0或2，5(x)= 是非奇非偶函數，不合題意，P=1，此時，5(X)=X2，滿足全部條件。

（2）y(x)=-λx4+(2λ-1)x2+1，假設存在符合題意的負數λ，則y(x1)-y(x2)=(X –X )[ λ（X +X )]-(2λ-1)]。

①設X1＜X2≤-4，則X -X ＜0，欲使y(x)在（-∞，4）上遞減必須且只須λ（X + X )＜（2λ-1），∵X ≥16，X ≥16，∴x +x ≥32∴2λ-1≥32λ，λ≤－

②設-4＜X1＜X2＜0，則X ＜X ＜0，欲使y(x)在（-4，0）上遞增，必須λ（x +x ）∵X ＜16，x ＜16， x +x ＜32，∴2λ-1≤32λ λ≥-

由①②可知，λ=- ，故符合題意的λ存在且等于-

例2，是否有這樣的虛數E，使E+ ER，且axy(E+3)= ？為什么？

解：假設滿足條件的虛數E存在，設E=x+yi(x，y∈R，y≠0)

∵E+ =x+yi+ ∈R，∴y =0，由y≠0得 x2+y2=5由axy(E+3) 得 =-1，且y＞0，x+3＜0。

解方程組

這兩組解均不滿足y＞0這一條件，所以滿足件件的虛數 E不存在。

例3，已知雙同線 （a＞0，b＞0）的左、右焦點為F1、F2左準線為L，試問：能否在雙曲線的左增支上打到點P，使|PE2|的等比中項？證明你的結論。

解：假設滿足條件的點P存在，設雙曲線的離心率為e，由 =e得|PF1|=d∈又|PE2|-|PE1|=2a，

∴|PE2|=2a+|PE1|=2a+de

由已知得(de)2=d(2a+de) ∴d=

考慮到d不不于左頂點到L的距離。

∴e2-2e-1≤0，由于e＞1，∴1＜e≤ 。

e≤1+ 等價于0＜b≤ a，所以當b＞ a＞0時，滿足條件的點p存在，當0＜b a時，滿足條件的點P存在。

可見對于“是否存在”或“是否成立”的探索性問題，一般先 假設“存在”或“成立”，利用這一假設，結合題目的條件列式計算或推理信論正，如出現矛盾則否定假設；如不出現矛盾，則肯定假設，側3則說明對于含參數的探索性問題往往要分類討論，本題的難點是根據雙曲線圖形的特征，觀察到d不小于左頂點到左準線的距離。

二、考察特例，從特列中猜想結論，再證明結結論的正確性，或考察圖特征，猜想結果。特別是涉及函數、方程的問題，可從函數圖象或議程的曲線之間的關系猜想結論。

例4：設5(n 設比較5(n)與 的大小。

解：5（1）=1＜ 5(2) =1+ ＜ 1.71＜

5（3）=1+ + ＞1+0.7+035=2.27＞

5（4）=1+ + + ＞2.7＞

假設當n=k時（k≤3），e5（k）＞

則5（k+1）=5(k)+

所以，當1≤n≤2時，5（n） ，當n≥3時，5（n） 由引上所舉的例題可以看到，要解決好“存在”，“不存在”，“是否存在”這類問題，因此，在高考和數學競賽中，探索性問題作為考察學生能力的重點問題，要中夠的引起重視。