例談運用信息技術促進中學數學概念教學

【關鍵詞】信息技術 中學數學 概念教學 策略

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2012）05B-0044-02

中學數學中涉及的概念有多少？初中共有24個系列（一個單元的概念稱為一個系列）132個概念，高中文科共有35個系列359個概念，高中理科共有40個系列396個概念。這個概念體系涵蓋了所有高中數學知識點的93%左右。可見，概念教學在中學數學教學中是何等重要。關于數學概念教學的文章很多，其中許多有效的方法、策略，值得實施。筆者運用信息技術實施這些方法和策略，發揮了最大的效力。下面僅以兩個策略的實施為例進行說明。

一、運用信息技術有效實施“強調情感投入”策略

數學概念的抽象性，決定了學生對其記憶、理解和應用的難度。應用信息技術進行情景模擬能憑借聲像效應刺激學生的多種感官，使學生的注意力、情感、興趣等心理因素保持良好狀態，認知心理得到充分發展。這樣，枯燥的數學概念學習就會變得輕松愉快；抽象的數學符號和呆板的數學圖形，就會在學生的感覺中“活”起來，學生已有的感性認識便可迅速向理性認識飛躍。如我們在教授雙曲線的第一定義時，雖然課本上利用拉鏈閉合的形式能較形象地幫助學生理解該定義，但在實踐中可發現，學生操作起來非常困難。主要原因有：拉鏈拉口孔太小，學生的筆很難放進去；拉鏈本身較粗，不可能形成數學概念中的“線”；拉鏈閉合的過程不是順滑的，以致學生畫出的曲線一點也不像雙曲線，而是如圖1所示的“四不像”。如此操作下來，恐怕學生對雙曲線的定義不是清楚，而是更不清楚了！這樣哪里還有什么學習的激情呢？就是認同的情感都沒有?。”碚骼碚搯⑹疚覀儯涸诮虒W活動過程中，若教師的教學方式與學生的建構方式匹配，學生就能比較容易理解教學的內容，反之，教學內容對于學生而言常會顯得毫無意義甚至會被錯誤地表征。后來學生的作業和考試也證明了這一點。

本學期期考我校高二數學出了這么一道題：

設A、B為兩個定點，P為動點，k為非零常數，|PA|-|PB|=k，

①當0

②當-|AB|

③當|k|=|AB|時，則動點P的軌跡為____________；

④當|k|>|AB|時，則動點P的軌跡為____________。

考試結果：全年級文科生144人中只有1個學生填對第一問，另外還有15個學生第一問會填還算有點沾邊的“雙曲線”這個答案，其余學生都不會答。（本年級的三個文科班由三位老師上，均是采用課本上的拉鏈法上的）

筆者在另一個班運用信息技術講授雙曲線的概念：平面內與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值是常數（小于|F1F2|）的點軌跡叫做雙曲線。利用幾何畫板做出示圖2-1及2-2。

演示過程：

（1）畫直線AB，在直線AB上畫一點C。

（2）畫兩點F1，F2使F1F2長大于AB的長，即|F1F2|>|AB|。

（3）以點F1為圓心，線段AC為半徑畫圓C1；以F2為圓心，以線段BC為半徑畫圓C2。

（4）做出圓C1與C2的交點P，Q。

（5）追蹤點P，Q。

（6）向右拖動點C出現雙曲線的右支（如圖3），其中|AB|=2a，|F1F2|=2c，2a<2c此時|PF1|-|PF2|=|CA|-|CB|=|AB|，|AB|<|F1F2|；向左拖動點C到點A的左邊，出現雙曲線的左支（如圖4）。

雙曲線的概念對于初學的學生來說難以理解、記憶。使用這個動態課件，教師講解雙曲線概念就變得很容易了。從圖中可以看出動點P到兩個定點F1、F2的距離就是線段PF1、PF2的長度，而PF1、PF2是圓C1、C2的半徑，分別與AC、BC的長度相等。當C點在直線AB上（分別在B點的右側、A點的左側）運動時，點P也隨之運動，線段PF1、PF2長度發生變化，但它們差的絕對值即線段AB的長度固定不變。通過教師講解、課件演示，學生很容易理解這個常數就是|PF1|-|PF2|=|CA|-

|CB|=|AB|=2a，而到定點F1、F2的距離差的絕對值為2a的所有點的軌跡就是雙曲線，也就是動點P形成的軌跡。抽象的概念、動態的過程通過幾何畫板的演示直觀地展現在學生的面前，使復雜的問題簡單化，抽象的概念形象化。

到此雙曲線概念的教學似乎可以結束了，但我們還可以進行如下操作：

（7）拖動點B，使得|AB|=|F1F2|=2c，然后重復步驟（6），學生很容易觀察到此時雙曲線變為了直線F1F2上的兩條射線：F1P（點C在B點的右側時）、F2P（點C在A點的左側時），如圖5。

（8）繼續拖動點B，使得|AB|>|F1F2|=2c，然后重復步驟（6），此時點P、Q沒有任何軌跡，如圖6。

此時，學生不僅僅注意到了“差為常數”這個特點，更注意到了形成雙曲線是有一定條件的——|AB|<|F1F2|=2c。在常規課堂上不能這么完美地呈現這個條件，這樣演示能使學生在課堂上的有效注意時間延長了。進行這次實驗教學的是理科普通班（49人）。據本次期考結果統計，三個理科班共154人（其中有一個是重點班57人），共有28位學生給出了上面考題的四個小問的準確答案，其中實驗班有12人，重點班15人，還有另一個普通班1人，并且絕大部分學生對雙曲線的定義的理解比較深刻。

二、運用信息技術有效實施“在練習中提升認識”策略

能進行反復的復習和練習，練習具有多樣性，這是運用信息技術的優勢所在。各有關課件一經做好，便可一勞永逸。各類學習網站方便學生自學。每一部分內容不但可以重復呈現和練習，直到弄懂弄透，并且還可以不斷更新。網站上有教師現場講課，還可以實現師生互動，可以錄制學習內容，什么時候想學、想練均可。

特別是采用動態變式法、逐層推進法進行概念教學時，運用信息技術更能顯示它的優勢。如與相似三角形判定定理“有兩個角對應相等的兩個三角形相似”相對應的例題“直角三角形被斜邊上的高分成的兩個三角形彼此相似，并都和原三角形相似”（見圖7），它揭示了直角三角形的一個重要性質，是往后學生學習圓及解直角三角形必不可少的一個重要命題及圖形。尤其是九義教材刪去了射影定理后，它更突出地顯示了其重要作用。在平時教學中，往往都是先給出該例，再證明該例，這樣突出不了此例的重要作用和其圖形結構的特殊性。運用信息技術進行該例的教學，可以借助一組動態變化圖形，逐層推進。具體操作如下：

讓學生隨著電腦的演示思考如下問題：

1.如圖8，在△ABC和△FDE中，∠A=∠F，∠C=∠E，那么這兩個三角形有什么關系？

2．讓∠A與∠F重合，得出預備定理的圖形結構（如圖9）。在這個過程中，這兩個三角形的什么關系沒有改變？

3.把△ADE進行翻轉（如圖10），在這個過程中，這兩個三角形的位置變化了嗎？有什么關系沒有改變？

4.讓DE平行移動，最后使DE過點C（如圖11），這個過程中△ABC和△ADE還相似嗎？

5.讓點C沿著CB運動，直到AC⊥BC（如圖12）。在這個運動過程中，有哪兩個角是對應相等的？這兩個三角形又有什么關系？另外，還多了哪些相似三角形？為什么？（此時，讓計算機同步測算：∠ACD=……，∠1=……）

6.讓整個三角形旋轉一定的角度，得到上例的圖形結構（如圖13）。在這一運動過程中，整個圖形保持了哪些不變的特性？你們可以總結出關于這個圖形的什么結論？重看一次整個運動過程，在一系列的圖形變化過程中，你又可以總結出什么規律？

根據認知主義學習理論，學習有“完全趨向律”，有鄰近原則、閉合原則、類似原則、良好完形原則。另外，助學學習的原則之一——聯系定理說明：數學中每個概念、原理和技能都是與其他的概念、原理和技能密切聯系的。所以，通過這一組圖形變化，利用CAI對常規教學中幾乎不可能做到的圖形變化過程進行了直觀展示，使學生對相似的這幾個圖形有一個全面的了解，知道其實這幾個圖形就是由一個圖形演化生成的，在整個過程中它們就是保持兩個角對應相等而已，從而使學生對這么多基本圖形的記憶轉化成了對一組動態變化留下的印象，減輕了學生的學習負擔，更突出了上例這個圖形重要、特殊的結構，使學生感受到數學圖形變化之美，并培養了學生進行化歸及縱向聯想思維的習慣，提高了學生思維的廣闊性、深刻性。這就是動態變式的魅力，它是非信息技術條件下的教學無法取代的。

（責編 王學軍）