一類三角恒等式的推廣

摘 要：本文以歐拉公式為基礎，通過構造不同的方程和韋達定理獲得幾組重要的三角恒等式。

關鍵詞：韋達定理；歐拉公式；三角恒等式；多項式

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）02-011-02

一、引言

三角恒等式的證明是平面三角的一種常見題型，同時也是訓練同學們靈活變形能力的良好素材，然而對初學者來說卻是一個較高的門檻，往往面對形形色色的三角恒等式不知該作什么樣的有效變形而陷入迷茫之中。文獻[1-3]歸納了證明三角恒等式的常用方法及技巧;文獻[4-5]分別利用構造方程和韋達定理證明兩個三角恒等式和;文獻[6]利用復數方法將此類恒等式作出了一個統一的推廣。受以上文獻研究思想的啟發，本文以歐拉公式為基礎，通過構造不同的方程和韋達定理獲得幾組重要的三角恒等式。

二、主要結果及證明

定理1 設為任一正整數，則有

（1）

（2）

定理2 設為任一正整數，則有

（1）

（2）

（3）

定理3設為任一正整數，則有

（1）

（2）

推論1設為任一正整數，則有

（1）

（2）

（3）

（4）

為了證明本文定理，先介紹下面引理

引理1 對任一正整數，任一實數有

證明：由歐拉公式知

，利用二項式定理展開等式左邊，比較實部、虛部即得。

定理 1 的證明：由引理1知

構造方程

（2.1）

那么是（2.1）的個根，由韋達定理

定理2的證明：在（2.1）式中以代替，得

是方程

（2.2）

的根，由韋達定理得

故

定理3的證明：由引理1知

構造方程

（2.3）

則是（2.3）的根，又

故式（2.3）可化為

(2.4)

由韋達定理得

故

推論1證明：利用和，由定理1-2知

事實上，根據對稱多項式基本定理，如果構造一個一以三角函數為根的多項式，原則上我們可求出任一個多元對稱多項式的值，由此可得一大批三角恒等式。

參考資料

[1] 佟紅梅，張秀榮.淺談三角恒等式的證明方法，內蒙古科技與經濟，2004，12:94

[2] 盧達平. 如何證明三角恒等式，龍巖學院學報，2006，8:42-44

[3] 郭小斌，邱呈玲. 關于三角形的一類三角恒等式的探究，數學通訊，2004，20:3-4

[4] 李建學.兩組三角恒等式的證明，數理化學習

[5] 師五喜.也談用韋達定理證明某些三角恒等式，數學通報，1996，1:22-23

[6] 張青山.一個三角恒等式的推廣的復數證明，數學通報，1998，8:21.