對一道例題的再思考

摘 要：對于數學的學習要勤于思考，善于思考，精于思考，這對于進一步深入理解掌握與靈活運用數學概念、公式解決有關具體問題是十分重要的，這也是不斷提高思維水平和思維品質必備的基本素質。本文通過對一道等差數列例題教學的再思考，幫助學生對等差數列的理解和運用。

關鍵詞：新課程標準；等差數列；例題教學；再思考

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）14-187-01

等差數列是高中新課程標準數學必修⑤中的一個重要內容之一，也是每年高考的重點考查內容之一，學生在學習這一內容時并不感到有特別困難，因為等差數列的定義、通項公式、前項和公式都是比較易懂易記的，但是在解決有關等列數列的具體一些問題時，很多學生往往不能得心應手，甚至感到力不從心，覺得束手無策，無從下手。究其原因，就是對等差數列的定義、通項公式、前項公式沒有進一步深入的研究，缺乏透徹理解，只是一知半解。下面通過對一道課本例題的再思考，簡要談談如何理解等差數列的概念、公式、性質，和怎樣運用它們去解決有關具體問題。

這道例題是：已知一個等差數列前10項和是310，前20項的和是1220，由這些條件確定這個等差數列的前項和公式嗎？

這是一道探究性的問題。課本給出的解法是：

設的首項為，公差為，由題設條件及等差數列的前項和公式，得方程組

解之得

于是

這種解法思路自然，順暢，抓住了等差數列的兩個基本量和，整個解題過程只涉及到等差數列最基本的求和公式。記憶方面沒有任何障礙，而且一旦求出了和后，與之有關的問題就能迎刃而解，是學生學完了等差數列后必須熟練掌握的一種最基本的方法，也是教學的重點，也是每年高考的要求，但是，在解方程組時有較大的運算量，讓人感到美中不足。

那么是否有別的辦法和途經可以解決運算量比較大這一問題呢？

根據等差數列的前項和公式再整理之后就可以得到，即公差不為0的等差數列前項和公式的表達式是關于的無常數項的二次式，于是可設為，由題設條件有

容易解得

所以

這種解法從理性的高度觀察分析等差數列的前項和公式的結構特征，這里我們得到一個啟示，教學時不只是引導學生去觀察分析思考弄清概念公式的內涵和外延，還要注意啟發學生對公式的結構特征的思考，這一點也是相當重要的，因為這樣才能透徹理解概念，熟練掌握公式，靈活運用它們解決有關問題，逐步提高思維水平和解題能力。因此，以上這種解法是課本給出的解法的一種優化，這是我們熟練掌握等差數列的前項和公式的體現。

至此，我們不要滿足以上兩種解法，而應當尋找是否還有更好更簡捷的思路。

由解法二可以知道，對公差不為0的等差數列，其前項和公式的表達式是關于的無常數項的二次式，那么必為關于的一次式，故新數列也是一個等差數列，其圖象是位于一條直線上的各點，那么，，三點共線，于是有

求得

這種解法在解法二的基礎上，更進一步地從正反兩個方面剖析了等差數列的通項公式，并用函數的思想研究了等差數列及其圖象，思路巧妙，獨到、新穎，與前兩種解法比較，給人以耳目一新之感，同時，不難發現這種解法抓住了等差數列的本質特征。由此看出，解題的思路是否開闊，解題能力如何，很大程度上取決于我們對概念公式的理解得是否深刻全面透徹。

以上三種解法，解法二比解法一簡便，而解法三比解法二又更簡便，更簡捷。這也正是要求我們在進行數學學習時要勤于思考，善于思考，精于思考，讓思考成為一種良好的學習習慣，這樣，我們就會把數學學好，把數學學活，把數學學精，把數學學通，就能較大地提高數學思維水平和思維能力，從而進一步提高數學素養。