錯誤成就數學之美

在課堂中，我們常常發現，當學生犯錯的時候往往會害羞，不敢再說。有學生甚至偷偷地和我說：“老師，您少叫我回答問題，我害怕說錯。”往往這時候我都會和他們說：“你們知道嗎？錯誤的鄰居就是真理，錯誤有什么可怕？學校就是允許你在知識上犯錯再改正的地方。”這樣，學生就會釋然很多。有時候，我們會發現，學生犯的一個錯誤往往會讓教師更透徹地分析學生思考問題的方式、方法，從而尋求更好的教學方式幫助他們發現和改正錯誤，更好地掌握知識。

我執教的蘇教版四年級下冊的《三位數除以兩位數》時，在課前，我提出了三個難點，一是如何進行試商；二是如何證明用四舍五入試商法計算除數是兩位數的可行性；三是如何克服學生在計算中當試出商卻把商和試商時的除數相乘的錯誤。我把思考更多地放在了前兩個問題上，我認為最后一個應該不成問題，然而，在課堂教學中卻成了最大的問題。下面，我就以兩次執教的片段談談我的思考。

一、課堂實錄片段1

例題：192÷32，學生已經提出將32想成30來試商，并說明為什么把32當30來試商。

師：既然把32看做30來試商，這就回到我們之前學習的除數是整十數的除法，那你能想一想，這里商幾？為什么？

生：商6，我想的是192里面最多有6個30。

學生一致認可。

師：說得真好。那這個6是不是就是192÷32的商，我們還不能確定，我們繼續來算一算，第二步算什么？

生1：算30×6。（板書30×6）

生2：不是，應該是32×6。（板書32×6）

師：到底是30×6還是32×6，為什么？

生2：應該是32×6，因為32才是真正的除數。

生1：應該是30×6，因為這個6是用30試出來的，所以要乘也要和30相乘。

生3：我認為他說的不對，雖然我們是用30來試商的，但是192除以的是32，我們知道做除法的時候都是用商去乘除數，這里的除數是32，所以要乘32。

師：同學們說得都非常有道理，那么你們認為誰說的更有理一些呢？（一些學生指著生2和生3）

師：確實如此，這里的30并不是真正的除數，我們只是用它來試商。要驗證商是不是就是原來除法的商，我們可以來驗算一下。

算出結果，32×6正好等于被除數192，通過乘法驗算得到商就是6。

練習反饋：我自認為每個細節上都講清楚了。然而，在隨后的計算練習中發現，仍有大量學生將商與試商的除數相乘。我當時還想：學生肯定是會的，只不過因為試商的除數寫在了除數上面，學生看錯了才出錯的。

課后反思：雖然課堂上糾正了學生的錯誤，然而課后仍舊繼續犯，這引起了我的思考，為什么會把商和原來的除數相乘，我課上那樣講學生是否都理解了？我順著學生的思路去想，這節課前學生的基礎是用除數是整十數的方法來試商，第一步和以前一樣，想被除數里面最多有幾個整十數，第二步用商去乘整十數。想到這里，我突然發現，既然這節課是用學過的知識來解決新的問題，學生習慣了這種思維方式，計算時就是用商乘整十數，今天整十數又出現，當然還是會去乘整十數。我一下子豁然開朗，原來是思維定式讓他們一而再地犯錯，既然這樣的話，原來的方法根本行不通，學生認為自己的想法是正確的時候往往就會一意孤行，任憑怎么比較，學生可能都無法認識到自己的錯誤。問題的原因找到了，那如何糾正呢？必須讓學生自己認識并改正，我看著教學設計并回想上課時的每一個細節，一下子發現有好多切入點都可以讓學生發現問題，從而避免犯類似的錯誤。帶著這樣的思考，我進行了第二次執教。

二、課堂實錄片段2

同樣講到把32當做30來試商，并試出商是6。

師：那這個6是不是就是192÷32的商，我們還不能確定，我們一起繼續算下去，第二步算什么？

生1：用30×6=180。（這時候下面有同學議論，并想舉手反對）

師：好，30×6=180，（并把180寫在豎式中被除數192的下面）

生1：192-180=12。（教師隨即板書）

師：說得很好，余數沒有超過除數，看來結果就是6余12。算得對不對呢？我們一起來驗算一下。

生2：用商乘除數加余數，所以用30×6=180，再加上12等于192。

師：正好等于被除數，對了。（這時候我發現生1舉手了）

生1：錯了，驗算要用32乘6再加12，因為列出的算式中除數是32不是30。（順著他的說法我指了指原來的橫式，許多學生非常響應他的想法）

師：說得有道理，我的除數明明是32嘛，那我們重新來驗算。

生1：32×6=192，192+12，啊呀，錯了。

師：怎么了？還沒說完就錯了？

生1：32×6已經等于192了，再加上12就是204超過被除數192了。

師表揚他：你很厲害，居然能發現自己的錯誤，同學們你們看到了嗎？

學生集體點頭贊成。

師：那現在還是委托你找一找，你在哪犯錯了？其他同學也一起幫他找找他哪里錯了？

許多學生都舉起了手。

生1（想了一會）：我知道了。我剛才在做除法的第二步時算了30×6，而應該算32×6，（他不好意思地笑了笑）跟那個驗算犯了同樣的錯誤，應該乘原來的除數。

師：你很不錯，剛才發現了別人的錯誤，現在又帶著相同的眼光發現了自己的問題，了不起。同學們，你們發現了嗎？

生2：恩，因為30是我們用來試商的，不是真正的除數。

師：是啊，原來它是假冒貨啊！（學生笑了）我們什么時候用到它的啊？

生集體：試商的時候。

師：對啊，我們只是借它來幫助我們試出商的。商出來了和我們還有關系嗎？

生集體：沒有。

師：沒有的話我們就要趕走它，別讓它擋著我們了。（我在30上面用紅筆加了一個括號，又用黃筆把32重重描了一遍）

練習反饋：練習的時候，我特別在教室轉了一圈，發現只有3個同學乘了試商的除數，其余學生都乘對了。我對三位同學進行了個別輔導，同時發現學生都在試商的整十數上加上了括號。

課后反思：再次回看這節課，我突然發現一下子豐滿了許多，課堂不再那么生硬地將知識灌輸給學生，同時學生能夠經歷一個自我認識錯誤、反思錯誤進而糾正錯誤的過程，這遠比讓別人指出錯誤，又要強迫他接受的方法好得多。

從這節課兩次執教讓我深刻地發現，學生會犯錯誤是正常的，他們會這樣做，是因為他們所掌握的知識有限，這時候就需要教師從旁幫助他們，指導他們利用學過的知識進行自我反思，自己來改正錯誤。老師的工作就是幫助學生改正錯誤，幫助他們朝著真理的方向前進！數學是很美的，只是我們有時候過多地關注于學生的錯誤而嚴于批評，其實數學的美正來自于這些錯誤！就讓這些錯誤讓我們的課堂更加人本化吧！

（作者單位 江蘇省常州市博愛小學）