f(x)=klog/a/x是對數函數嗎?

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B【文章編號】2095-3089(2012)04-0064-02

《贏在45分鐘》教輔書給出，判斷一個函數為對數函數的條件是：（1）對數符號前的系數為1 （2）底數為大于0且不等于1的常數 （3）真數為單個自變量。并且舉例說函數 不是對函數。因為 的前面的系數是2，而不是1。

志鴻系列從書《高中優秀教案》（必修1）中舉例：

像 等函數，它們是由對數函數變化而得到的，都不是對數函數。即該書也不認為 是對數函數。

那么， 真不是對數函數嗎？

我認為 是對數函數。理由如下：

一、對數函數是指數函數的反函數

《贏在45分鐘》和《高中優秀教案》均承認 這樣的函數為指數函數。由 。所以 的反函數為 。人教A版必修1《數學》教材中已明確指出對數函數 和指數函數 互為反函數。既然承認 為指數函數，為什么又不承認 是對數函數呢？

況且 和 （a>0且a≠1）分別可化為 和 完全符合條件：（1）系數為1，（2）底數為大于0且不等于1的常數，（3）真數為單個自變量。沒有理由不承認它們是對數函數。《贏在45分鐘》和《高中優秀教案》不承認 是對數函數，就不應該承認 是指數函數。他們這不是自己搬石頭砸自己的腳嗎？

二、\"滿足 的函數是對數函數

筆者在文《對指數函數中兩處流行錯誤的辨析》中，補充了指數函數的另一個定義：指數函數是指定義于 ，滿足條件 的連續函數（高希堯編《數學術語詳解詞典》）。文認為 滿足上述條件但不是指數函數。將定義更改為：指數函數就是定義于 ，滿足條件 的單調函數。

仿文筆者試給出對數函數的第二定義：對數函數就是定義于 ，滿足條件 的單調函數。以 為例說明

不是對數函數。

而 2

是對數函數。

三、不光看\"形似\"，更要看\"神似\"

形如 （a>0且a≠1）的函數叫對數函數。這里的條件：（1）系數為1，（2）底數為大于0且不等于1的常數，（3）真數為單個自變量x。這只是對數函數的\"貌\"而非對數函數的\"神\"。即只要轉化后具備（1）、（2）、（3）三個條件就是對數函數。

∵ （a>0且a≠1）

= （已形似）

∴ 是對數函數。

羅增儒教授認為根據指數函數的定義，只要定義域為全體實數，對應關系能表達為指數形式 的函數就是指數函數。顯然羅教授采用的也是轉化后形似的方法，也就是不只看\"形似\"更要看\"神似\"。

仿羅教授的這段話，我們可得到：只要定義域為 ，對應關系能表達為對數形式 的函數就是對數函數。所以，我們在判斷一個函數是否為對數函數時千萬別再以\"貌\"取\"人\"！

以上三點均可說明 是對數函數。

參考文獻：

1.朱勇.一個定義的瑕疵.中學數學教學，2009，5(28)

2.祝世清.對指數函數中兩處流行錯誤的辨析.中學數學教學，2008，5(24)

3.羅增儒. 是指數函數嗎.中學數學教學，2011，1(12)