“雞兔同籠”問題中滲透數學思想方法教學談

《數學課程標準（實驗稿）》指出：“教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。”“雞兔同籠”問題是我國古代數學名著《孫子算經》中記載的一道數學趣題，是義務教育課程標準實驗教科書人教版數學六年級上冊第七單元“數學廣角”中的教學內容。教材先引入《孫子算經》中的“雞兔同籠”問題，通過提問激發學生解答古代名題的興趣。考慮到原題的數據較大，教材在例1中安排一道數據較小的“雞兔同籠”問題，先后呈現了多種不同的解決問題的策略，旨在讓學生感受我國古代數學問題的趣味性、解法的巧妙以及思考的獨特性。那么，這些策略蘊含著哪些重要的數學思想方法，又該如何向學生有效滲透這些重要的數學思想方法呢？對此，教師要準確把握教材，立足學生的發展，以“雞兔同籠”問題為載體，引導學生體驗方法策略的多樣性，豐富感知，掌握基本的數學思考方法，使學生在知識、能力、情感態度等方面都有所收獲。

一、挖掘教材內涵，在知識的形成過程中感悟數學思想方法

數學思想是對數學知識和方法的本質及規律的理性認識，數學方法則是數學思想的具體表現形式，數學思想和數學方法合在一起，稱為數學思想方法。數學是知識與方法的有機結合，沒有不包含思想方法的數學知識，也沒有游離于數學知識之外的思想方法。可以說，數學思想方法是數學的靈魂和精髓，是數學素養的重要內容之一。因此，教學中我們必須深入鉆研教材，充分挖掘教材中隱含的數學思想方法，注重展現結論的形成過程，引導學生積極參與，有意識地啟發學生領悟蘊含于數學知識之中的各種思想方法，并通過具體的過程來實現數學思想方法的教學。

1?郾由簡到繁。教材用一個富有情趣的古代名題，生動地呈現了《孫子算經》中記載的“雞兔同籠”問題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”考慮到學生對古代語言文字的理解有困難，于是解釋為：“籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有35個頭，從下面數，有94只腳。雞和兔各有幾只？”由于原題涉及的數量較大，會影響學生對問題本質的理解，于是通過小精靈的提示：“我們可以從簡單的問題入手。”將問題的數量適當縮小但不改變問題的結構，這樣就引出了例題1：“籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳。雞和兔各有幾只？”同樣是“雞兔同籠”問題，由于數量由大到小變化，為分析和解決問題提供了許多方便，同時又降低了難度，學生在解決問題的過程中，經歷了由簡到繁的思維過程，同時也獲得了解決復雜問題的基本方法。

2?郾猜想方法。波利亞說過：“數學事實首先是被猜想，然后是被證實。”數學猜想是依據已有的材料或知識經驗，對研究的數學對象（或數學問題）做出符合一定規律的推測性想象。猜想是一種在已有知識經驗的基礎上對問題進行直覺試探，從而形成某種假設的一種思維活動和思想方法。例如，先引導學生根據例題1中的“從上面數，有8個頭”，大膽猜測“雞和兔各有幾只”，再根據“從下面數，有26只腳”讓學生對猜測進行初步的估算。在初步理解“雞兔同籠”頭和腳的變化關系后，啟發學生思考：如果總腳數猜多了，就要增加雞的只數，減少兔的只數，如果總腳數猜少了，就要增加兔的只數，減少雞的只數。由于學生已經具備一定的生活經驗和知識，他們會猜測出各種答案（直到全部猜對），這樣的猜測不僅為解決問題指明了方向，還增強了學生的數感，發展了推理能力。

3?郾列舉方法。有些實際問題往往無法一時建立合適的數學模型，就可利用已知條件用一一列舉的方法將所有可能出現的結果呈現出來，通過比較，從中獲得符合條件的答案，為數學模型的建立奠定基礎。例如，如果全是雞，共有腳8×2=16（只），如果全是兔共有腳8×4=32（只），顯然不可能全是一種動物。假設全是雞，腳的只數比已知條件（26只）少，因而就在總頭數不變的條件下減少雞的只數，增加兔的頭數，這樣腳的總只數就會增加，這樣的一增一減就將全部的可能性一一列舉出來，如下表：

只要完成上表，從表中的數不難看出，只有雞3只，兔5只符合題意。

4?郾畫圖方法。畫圖的思想方法已成為學生學習數學的一種需要。借助簡單圖形（示意圖），不僅促進了學生形象思維和抽象思維的協調發展，還溝通了數學知識之間的聯系，從復雜的數量關系中凸顯最本質的特征。具體解法如下：

（1）畫出頭和身。

（2）畫出雞的腳。

（3）順次添腳差（兔）。

（4）雞兔知多少，即雞3只，兔5只。

運用畫直觀圖的方法解決“雞兔同籠”問題，有利于學生感悟數學解題策略，發展思維。

5?郾假設方法。假設思想是解決數學問題的重要思維方式之一。例如，“雞兔同籠”問題中要求雞和兔的只數，有兩個未知數，可運用假設思想方法，引導學生這樣思考：假設8只都是兔，那么應該有腳4×8=32（只），比實際多32-26=6（只），為什么會多出6只腳呢？因為籠子里不全是兔，還有一部分是雞。一只兔比一只雞多2只腳，多出6只腳，所以雞的只數是6÷2=3（只），兔的只數是8-3=5（只）。一些比較難的題目，通過恰當假設達到化難為易的目的，使解決問題收到意想不到的效果。

6?郾數形結合方法。數與形是數學研究的兩個側面，把數量關系和空間形式結合起來分析問題、解決問題，就是數形結合思想。“數形結合”把復雜問題簡單化，抽象問題具體化，促進學生形象思維與抽象思維協調發展，提高解決問題的能力。例如，運用數形結合的思想方法解決“雞兔同籠”問題時，首先根據題意畫出大小相連的兩個長方形（如下圖）。

整個面積表示26（把26只腳看成總面積26），大長方形為空白的，小長方形為陰影。空白長方形的面積表示2×8，陰影（長方形）面積表示兔腳比雞腳多的只數，即26-2×8，所以兔的只數為（26-2×8）÷（4-2）=5（只），雞的只數為8-5=3（只）。通過“數形結合”實現了解題思路的轉化，提升了學生的數學建構能力，發展了學生的數學思想。

7?郾比較方法。比較思想方法在小學數學教學中無處不在，其重要性不言而喻。“比較”就是在思考問題時對兩種或兩種以上的同類研究對象的異同進行辨別。例如，運用比較方法解決“雞兔同籠”問題時，可引導學生這樣思考：如果令兔子站立（兩只腳著地，都按雞的只數計算），這時腳數為2×8=16（只），比實際的腳數少26-16=10（只），少的腳數就是兔子站立時少的腳數。所以，兔子的只數為10÷2=5（只），雞的只數為8-5=3（只）。

8?郾建模方法。數學建模是解決實際問題的一種模型化方法，它是對量（形）的考查、抽象（或簡化），應用有關的定律、原理建立起事物之間的某種關系，用數學語言、符號描述或解釋現實世界中的現象。數學模型反映了數學思維的過程，高度的概括化、形式化是其主要特征。例如，在解決“雞兔同籠”問題的過程中，根據一類實際問題的一般特征歸納出：雞的只數=（頭的總個數×4-腳的總只數）÷（4-2）；兔的只數=（腳的總只數一頭的總只數×2）÷（4-2）。運用這個數學模型，可以便捷地解決類似“雞兔同籠”的問題。由此看出數學模型的構建對學生的發展來說，其意義遠遠超過僅僅獲得某些數學知識。

9?郾代數方法。代數的思想方法也就是列方程解決問題的方法。通過假設未知數，將未知量做已知，在已知數與未知數之間建立一個等式（方程），解方程求未知數。這種解決問題的方法直接、簡單，可化難為易。例如，用方程解“雞兔同籠”問題：兔的腳數+雞的腳數=兩種動物的總腳數。設兔為x只，則雞為（8-x）只，列出方程4x+2×（8-x）=26，解得x=5，則雞為8-5=3（只）。

二、讓學生在解決問題的過程中提升數學思想

數學思想方法是數學知識在更高層次上的抽象與概括。實踐證明，任何一種數學思想方法都需要學生在數學活動中積極實踐、反復體驗，不斷積累，才能逐步理解和掌握。因此，在教學中，我們要遵循數學課程標準的要求，緊扣教材中的習題，讓學生在練習與實踐活動中不斷探究，促進數學思想方法的內化。例如：

1?郾出示民謠：一隊獵手一隊狗，二隊排成一隊走，數頭一共三百六，數腳一共八百九，問有多少獵手多少狗？

2?郾向陽小學老師和學生共100人去義務植樹，老師每人植3棵，學生平均3人植一棵，正好植樹100棵。老師和學生各有多少人？

3?郾六年級（1）班舉行知識競賽。答對一題加10分，答錯一題扣5分。3號選手李明搶答了12道題，得了90分，他答對了幾道題？

4?郾王麗用14元錢買郵票，買了120分和80分的郵票一共15張。她買了幾張80分的郵票？

5?郾張大爺家養了雞兔共200只，雞的腳數比兔的腳數少56只，請你幫忙算一算，雞和兔各有多少只？

在教學中，教師要深入鉆研教材，挖掘教材中關于數學思想方法教學的各種因素，不失時機地把隱含在教學內容中的數學思想方法傳授給學生，并學會運用。只有這樣有目的、有層次地進行數學思想方法的教學，才能有效提升學生的數學素養。

作者單位

祥云縣城區四小

◇責任編輯：李瑞龍◇