淺析“洛侖茲力做功”問題

我們知道，帶電粒子在垂直于磁場的方向運動時，其所受洛侖茲力：f=Bqv，q、v分別為粒子的帶電量和速度，B為所處磁場的磁感應強度。由于B的方向始終垂直于v的方向，所以我們說：洛侖茲力永遠不做功。然而，我們在討論導體在磁場中做切割磁感線引起的感應電動勢時，說感應電動勢是由洛侖茲力引起的，這不是意味著洛侖茲力在做功嗎？

下面我們對這個問題進行討論。

圖1如圖1所示，光滑U形金屬導軌平面垂直于磁場放置，磁場的磁感應強度為B，方向垂直紙面向里；導體棒MN垂直于導軌橫放其上，接觸良好，有效長度為L，回路中的等效電阻為R。當導體棒在外力的作用下以恒定的速度v1向右運動時，導體棒中的自由電子也以恒定的速度v1向右運動，自由電子所受洛侖茲力為：f1=ev1B，式中e為電子所帶電量，f1方向如圖1所示由M指向N。在洛侖茲力的驅動下，電子沿MNEF運動，電流方向為NMFE。若將運動的導體棒看作電源時，N端為負極，M端為正極。

顯然，作用在自由電子上的洛侖茲力是一種非靜電力。現以作用在單位正電荷上的洛侖茲力考慮，設K為作用在單位正電荷上的非靜電力，則K的方向與f1的方向相反，即由N指向M，大小為：K=f1/e=Bv1。

電動勢的定義是把單位正電荷從負極通過電源內部移動到正極時非靜電力所做的功，此時作用在單位正電荷上的非靜電力K的位移為L，方向由N指向M，與K方向相同，所以，導體棒MN產生的電動勢為：ε=KL=BLv1。

從上面的分析過程可以看出，電動勢是由洛侖茲力引起的，所以洛侖茲力f1是做功的。

若導體棒向右運動t時間，該力做功W1為：W1=Iεt=(ε/R)εt=B2L2v21t/R，式中I=ε/R為回路中的電流。

我們對此的解釋是：僅認為自由電子受洛侖茲力f1是不全面的，因為它只考慮了電子的一種運動——隨棒運動，而沒考慮到另一個運動——定向移動。

現在我們來分析電子的定向移動，看它所產生的效果。

如圖2所示，將導體棒MN隔離出來，設導體棒的橫截面積為S，導體棒里面單位體積內的自由電子為n，電子的定向移動速度為v2，方向由M指向N，則有：I=neSv2，而I=ε/R=BLv1/R，故v2=BLv1/neSR。

電子以速度v2在磁場中定向移動，它也必受洛侖茲力，設為f2，則：f2=Bev2，方向與導體運動方向相反。代入v2值，得：f2=B2Lv1/nSR。

導體中自由電子數為：N=nLS，所有電子所受洛侖茲力總和為：

F=Nf2=B2L2v1/R，方向與導體運動方向相反。

考慮導體棒運動t時間，其位移為v1t，方向與力F方向相反，故力F做的功W2為：W2=-Fv1t=-B2L2v21t/R。

問題到此已經明朗化了，綜合前面對電子的兩種運動的分析，電子所受洛侖茲力所做的總功為：W=W1+W2=B2L2v21t/R+（-B2L2v21t/R）=0。

對電子運動的全面分析如圖3所示，電子具有隨棒運動速度v1和定向移動速度v2，所受洛侖茲力分別為f1和f2，合速度為v，合洛侖茲力為f，結果f與v相垂直，合洛侖茲力仍不做功。

合洛侖茲力雖然不做功，但是它的兩個分力（即前面所述的f1和f2）是做功的。顯然，外力需抵抗分力f2做功（f2做負功），而洛侖茲力又通過它的另外一個分力f1做功，從而實現了外部其他形式（如機械能）向電能的轉化，洛侖茲力總體不做功，它起到的是能量轉化的橋梁作用。

自由電子除了上述兩種運動之外，還有無規則的熱運動，由于熱運動向各個方向的幾率相等，由熱運動引起的洛侖茲力向各個方向的幾率也相等，其宏觀效果等于零，所以我們在上述的分析中沒有考慮它。

對于載流導體在磁場中受安培力，而安培力又做功的問題，與此相同，也只是僅考慮了電子的一種運動，在這種情況下，電子隨棒運動產生的洛侖茲力阻礙電子的定向移動，消耗電能；定向移動產生的另一洛侖茲力（宏觀體現即為安培力）做功，從而實現了電能向機械能的轉化過程，總的洛侖茲力仍然不做功，有興趣的讀者不妨仔細分析一下。

(責任編輯 黃春香）