認清圖象信息的物理意義是利用圖象解題的關鍵

《中學物理》2012年第3期第73頁刊載了《例談“利用圖象巧解題”》一文（以下簡稱“原文”），現對原文關于“例1、例2”的解法提出商榷，以期拋磚引玉。

一、原文對“例1、例2”的解析

【例1】 如圖1所示，小滑塊m從靜止開始沿光滑斜面由A滑到C，經歷的時間為t1，如果改由光滑曲面滑到C，則經歷的時間為t2，關于t1和t2的大小關系，正確的是（ ）。

解析：滑塊由斜面由A滑到C，按題意是做初速度為零的勻加速直線運動，作出其圖如圖2中的直線a所示；滑塊沿曲面下滑時，在AD段加速度大于沿斜面下滑的加速度，在DC段又小于在斜面上的加速度，其圖線的定性示意圖如圖2中的曲線b所示，因為二者位移相同，圖線與坐標軸圍成的面積相同，從圖2中很容易看出t1>t2，選項A正確。

【例2】 老鼠離開洞穴沿直線前進，它的速度與到洞穴的距離成反比。當它行進到離洞穴距離為d1的甲處時速度為v1，試求：（1）老鼠行進到離洞穴距離為d2

解析：（1）由速度與距離成反比，v=kd，又有v1d1=v2d2，得乙點速度v2=d1d2v1；

（2）如圖3所示，所需時間即畫斜線的梯形面積，t=12(d1+d2)(1v2-1v1 )，將v2=d1d2v1代入得：t=d22-d212d1v1。

二、兩點商榷

1.原文誤讀了圖2中圖線b的物理意義

由于沿曲面ADC滑下時物體做曲線運動，其速度的大小和方向都隨時間變化，因此，圖2中圖線b應該是描述滑塊的速率隨時間變化的關系，這才是圖2中圖線b的物理意義。因此“b圖線與坐標軸所圍的面積”的物理意義是：滑塊沿曲面ADC滑下所經過的“路程”，并不是原文所說的“位移”。因而b圖線與坐標軸所圍的面積應大于a圖線與坐標軸所圍成的面積，符合這一條件的定性的圖線在圖4中b、c、d均有可能，即t1>t2、t1=t2、t1

下面我們“準定量”地對選項D的正確性進行論證。

由于原題并沒有給定曲面ADC的參數，我們可以作一個并不違反原題條件的極限假設如下：

圖4設物塊沿某一曲面AB′C下滑，其中曲面AB′無限接近豎直面AB，而曲面B′C無限接近水平面BC，在B′點為平滑連接。則：

（1）滑塊從A到B′的運動便無限接近于從A到B的自由落體運動，可以認為經過的時間tAB′=tAB，物體到達B′的速度大小也就無限接近于到達B點的速度大小，即vB′=vB;

(2)滑塊從B′到C的運動便無限接近于從B到C的水平方向的勻速直線運動，可以認為經過的時間tB′C=tBC。

因此，沿曲面AB′C運動的總時間t2=tAB′+tB′C≈tAB+tBC ①

設斜面傾角為θ，斜面長為L，

由自由落體規律有：12gt2AB=Lsinθ ②

由機械能守恒定律有：12mv2B=mgLsinθ ③

由勻速直線運動規律有：vBtBC=Lcosθ ④

聯立①②③④式，解得t2=2Lsinθg+Lcosθ2gLsinθ ⑤

物體沿斜面AC下滑的時間為t1，由初速度為零的勻加速運動規律有：12gsinθt21=L，即t1=2Lgsinθ ⑥

比較⑤⑥兩式有：t2t1=sinθ+12cosθ。

根據三角函數知識可以求得（sinθ+12cosθ）在AC傾角θ取值不同時，t2t1＞1，t2t1=1，t2t

1＜1均有可能，而這僅僅是不違背題設的其中的一種假設。

綜上所述，只要對一般曲面ADC與極限假設曲面AB′C的差異作適當的調控（而原題對這一點并未限制），t2t1均有可能，故選項D是正確的。

2.原文對圖3中“畫斜線的梯形面積”的物理意義的闡述依據不足原文對例2第（2）問解答時，根據題意畫出了d-1v圖象（如圖3），接著原文立即指出：“所需時間即畫斜線的梯形面積，t=12(d1+d2)(1v2-1v1)”，對于這個關系，沒有給出推導過程。由于d-1v圖線不是中學物理中的常見圖象，其圖象中的“面積”沒有一般熟知的物理解釋，因此，一步到位給出上述關于t的關系式似太唐突，應有必要的文字說明和推導過程。原文所述“畫斜線的梯形面積”是由無數個如圖5中畫斜線的豎直條的面積求和而成，這一點根據中學生的知識儲備是不難理解的，而當Δ(1v)

充分小時，豎直小條的面積ΔS⊥就用P點的縱坐標d與Δ(1v)乘積代替，即ΔS⊥=d×Δ(1v)，這一點中學生也能理解，問題是對ΔS⊥的物理意義進行解釋，也就是說d×Δ(1v)表示什么？它雖然有時間的量綱，是不是一段時間？對中學生來說，有些為難，更不是一目了然的，所以原文把“畫斜線的梯形面積”的物理意義說成是“所需時間”在中學物理范圍內顯得依據不足。現在我們考查圖5中畫斜線的橫向小條的面積：ΔS‖=1vΔd=Δdv，由于Δdv對應于發生極短位移Δd所用的時間Δt，故ΔS‖=Δt，因而“梯形P1d1d2P2的面積”就是所需時間t=12(1v1+1v2)(d2-d1)將v1d1=v2d2代入上式，有t=d22-d212d1v1，與原文結果相同，但顯得依據充分。

如果將圖3改畫成圖6所示的形式，則在圖6中“圖線P1P2段與下方坐標軸所圍成的面積即為從d1到d2所需的時間”，這樣就更符合中學物理教材的傳統表述和學生的思維習慣。

由上面的討論我們看到，認清“圖象信息”的物理意義是多么重要，它是正確利用圖象信息順利解題的前提和關鍵。其實，圖象問題千變萬化，但無外乎“輸入信息畫圖象”和“輸出信息解決問題”兩類，而其中“信息”的物理意義則是“信息的靈魂”，因為物理圖象不同于數學圖線，它一般是與一系列物理過程相對應，受一定的物理規律所制約，只有對“圖象信息”的物理本質有了透徹的理解，才能在“物理圖象”和“物理過程”的相互“翻譯”中游刃有余。而從本質上講，圖象問題就是“圖象”與“過程”的雙向“翻譯”問題。

(責任編輯 黃春香）