數形結合思想在解題中的應用

2012年秋季學期，廣西將進入高中新課程改革，新課程理念逐漸深入人心；學習新理念，轉變舊觀念正成為高中教師重要的課題.數學課程改革的重心是發展學生的廣泛的數學能力，注重數學思想、方法的教學滲透，培養學生形成良好的數學素質.數形結合是高中數學中重要的思想方法，通過數形結合可溝通數與形的內在聯系，把代數語言的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述有機地結合起來，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能使高中數學中許多復雜問題迎刃而解，收到事半功倍的效果.

【例1】 解不等式x+2＞x.

解法一：原不等式可化為x≥0x+2≥0x+2≥x2

或x＜0x+2≥0

，解得0≤x＜2或-2≤x＜0，

∴原不等式的解集為{x|-2≤x＜2}.

解法二：設y1=x+2，y2=x，在同一坐標系中作出這兩個函數的圖象（如圖1），則不等式x+2＞x的解就是y1=x+2的圖象在y2=x的上方的那一段對應的橫坐標，即不等式的解集為{x|xA≤x＜xB}，其中xA=-2，解方程x+2=x得xB=2.

∴原不等式的解集為{x|-2≤x＜2}.

評析：比較上述兩種解法，可以看到用圖形直觀地反映數量關系，解決問題簡潔明了.

【例2】 設f(x)=x2-2ax+2-a，當x∈［-1，+∞］時，f(x)＞a恒成立，求實數a的取值范圍.

解法一：f(x)＞a在x∈［-1，+∞)上恒成立等價于x2-2ax+2-a＞0在x∈［-1，+∞)

上恒成立.設函數g(x)=x2-2ax+2-a，其圖象在x∈［-1，+∞)時位于x軸上方有兩種情況（如圖2、圖3所示）.

(1)Δ=4a2-4(2-a)＜0，解得-2＜a＜1；

(2)Δ=4a2-(2-a）≥0a＜-1g(-1)=a+3＞0

，解得-3＜a≤-2.故實數a的取值范圍是(-3，1).

解法二：由f(x)＞a得x2+2＞a(2x+1)，設h(x)=x2+2，t(x)=a(2x+1)，在同一坐標系中這兩個函數的圖象如圖4所示，直線l1與拋物線相切，的對應值為1，直線l2經過點(-

12，0) 和點（-1，3），a的對應值為-3，符合題意的直線t(x)=a(2x+1)恒過點(-12，0)且位于l1與l2之間，故實數a的取值范圍是(-3，1).

圖5

【例3】 已知：橢圓x29+y24=1 與拋物線y=x2+m有四個不同的交點，求實數m的取值范圍.

錯解：在同一坐標系中作出橢圓和拋物線的圖象（如圖5），

根據圖象可得：m＜-2-m＜3，解得-9＜m＜-2.

評析：圖形的直觀性給解決問題提供了很大的幫助，但離開了嚴格的數學推理，往往受圖形直觀錯覺的影響得出錯誤的結論.

圖6

正解：聯立橢圓和拋物線的方程，得x29+y24 =1y=x2+m

，消去y，整理得9x4+(18m+4)x2+9m2-36=0，令t=x2，得9t2+(18m+4)t+9m2-36=0.設f(t)=9t2+(18m+4)t+9m2-36，根據題意知方程f(t)=0在(0，+∞)上有兩個不相等的實數根（如圖6），即得Δ=(18m+4)2-36(9m2-36)＞0，-18m+418 ＞0，f(0)=9m2-36＞0

解得-829＜m＜-2 .

評析：這是一個關于圖形交點的問題，求解過程卻是從分析方程的根的情況入手，而在討論方程f(t)=0在(0，+∞)上有兩個不相等的實數根時，又需要利用二次函數的圖象特征，這樣數和形的密切結合、相互補充，使問題得到了圓滿的解決.

(責任編輯 黃春香）