微積分在中學數學中的應用

初等數學是高等數學的基礎，二者有緊密的聯系，將高等數學的理論應用于初等數學，能使其內在的本質聯系得以體現，而微積分是在實數范圍內研究函數性態的一種重要的工具，與中學數學聯系非常廣泛.下面將從幾個方面探討微積分在中學數學中的一些應用，以進一步體現微積分與中學數學之間的聯系.

一、恒等式的證明

有些恒等式，用初等方法證明，往往需要較高的解題技巧，而用微積分的方法，則很簡單.

【例1】 證明：arctanx+arccotx=π2，x∈R.

證明：因為x∈R，有(arctanx+arccotx)′=11+x2 -11+x2 =0，

所以arctanx+arccotx=C （C是常數）.

為了確定C，令x=0，有C=arctan0+arccot0=π2 ，

因此arctanx+arccotx=π2 ，x∈R.

二、極值問題

初等數學能解決的極值問題是有限的，且方法不一，難以尋找，如果用微分的方法，有的問題解決起來就很簡便.

【例2】 求函數f(x)=xne-n2x（n是自然數，且n≥2）在［0，+∞)的最大值與最小值.求極限(x≥0）limx→∞f(x).

解：f′(x)=nxn-1e-n2x-n2xne-n2x=nxn-1e-n2x(1-nx).

令f′(x)=nxn-1e-n2x(1-nx)=0，得到兩個穩定點0、1n ，其中，0是區間［0，+∞)的左端點，討論f′(x)在穩定點1n 的情況.

列表如下：

函數f(x)的極大值f(1n )=1nnen ，f(0)=0.從表中可以看到fn(x)在1n 取最大值，有f(x)=xne-n2x≥0.

又f(0)=0，

即函數f(x)在0處取得最小值是0.

于是，x∈［0，+∞)，n∈N，

有0≤f(x)≤f(1n )=1nnen0(n∞) .

于是，x≥0，有limx→∞f(x)=0.

三、 函數單調性的討論

中學數學中函數的單調性一般用定義判別，計算繁瑣，對某些函數甚至無法判別，而在微積分中根據“若x∈區間I，有f(x)′＞0(＜0)，則f(x)在區間I嚴格增加（嚴格減少）”容易判別函數的單調性.

【例3】 求函數

f(x)=2(1-t+t2-t3)（0＜t＜12 ），

12 (t+1t )（t≥12 ）

的嚴格單調區間.

解：當0＜t＜12 時，

由f(x)=2(1-t+t2-t3)，得f′(x)=-2(1-2t+3t2)＜0；

當t≥12 時，

由f(x)=12(t+1t ) 得f(x)′=12(1-1t2) ，

當12≤t≤1時，f(x)′＜0；

當t＞1時，f(x)′＞0.

因此f(x)在（0，1）嚴格單調減少，在（1，+∞)嚴格單調增加.

(責任編輯 金 鈴）