空間角探究性問題的向量法求解策略

立體幾何中空間角的探究性問題既能夠考查學生的空間想象能力，又可以考查學生的意志力及探究的能力，是命題的熱點．因此，對于常見的探究方法的總結是必不可少的．

一、探究兩條異面直線所成的角

【例1】 如圖1，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=2，AF=1，試在線段AC上確定一點P，使得PF與BC所成的角是60°，并加以證明.

分析：設AP=x(0≤x≤2)，利用PF與BC所成的角是60°來構建以x為元的方程，再解x就確定了點P的位置.

圖1

解：∵正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，∴AF⊥AC，AF⊥平面ABCD.

又AB=2，AF=1，AC=2，設AP=x(0≤x≤2)

，以A為坐標原點，直線AB、AD、AF分別為x、y、z軸的正方向，建立空間直角坐標系，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，F(0，0，1)，P(2x2，2x2 ，0)，

∴BC=(0，2，0)，PF=(-22 x，-22 x，1)

.要使PF與BC所成角是60°，只需使|BC?PF||BC|?|PF| =cos60°

，所以x2?x2+1=12，∴x=1，所以當點P是線段AC的中點時，PF與BC所成的角為60°.

二、探究直線與平面所成的角

圖2

【例2】 如圖2，在三棱錐A-BCD中，側面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD=3，BD=CD=1，另一個側面是正三角形，在線段AC上是否存在一點E，使ED與面BCD成角30°，若存在，確定E的位置；若不存在，請說明理由.

分析：在AC上任取一點E，使CE=x(0≤x≤2），利用ED與面BCD所成的角為30°來構建方程，再求x.

解：以D為坐標原點，以直線DB、DC分別為x軸、y軸的正方向，以過D

與平面BCD垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系，

則D(0，0，0)，E(22x，1，22x)，DE=(22x，1，22x)，

又平面BCD的一個法向量為a=(0，0，1)，要使ED與面BCD成角30°，

只需使DE與n成60°，只需使|DE?n||DE|?|n|=cos60°，即22x

x2+1=12，∴x=1，

當CE=1時，ED與面BCD成30°角.

三、探究二面角

【例3】 如圖3，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點E在棱AB上移動，當AE等于何值時，二面角D1-EC-D的大小為π4 .

分析：設AE=x(0≤x≤2)，利用二面角D1-EC-D的平面角的大小為π4 來構建以x為元的方程，再求解x，就確定AE的值了.

圖3

解：∵ABCD-A1B1C1D1是長方體，AD=A1A=1，AB=2，以D為坐標原點，分別以直線DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系，則

AE=x(0≤x≤2)，則D(0，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，1)，E(1，x，0)，

∴CE=(1，x-2，0)，CD1=(0，-2，1).

設平面D1EC的一個法向量為n=(a，b，c)，

由n?CE=0，n?CD1=0，

得a+b(x-2)=0，2b-c=0.

令b=1，則c=2，a=2-x，∴n=(2-x，1，2).又平面的一個法向量為DD1=(0，0，1)，要使二面角D1-EC-D的大小為π4 ，只需使

|DE?n||DE|?|n| =cosπ4 ，∴21×(x-2)2+5 =22

，

∴x=2-3，x=2+3（舍去）

，所以當AE＝2-3時，二面角D1-EC-D大小為π4 .

對于立體幾何的探索性問題一般都是條件開放性的探究問題，采用的方法一般是執果索因的方法，假設求解的結果存在，尋找使這個結論成立的充分條件，運用方程的思想或向量的方法轉化為代數的問題來解決.對于立體幾何的探索性問題最適合用空間向量的方法，只需通過坐標運算進行判斷，在解題過程中把“是否存在的問題”轉化為“點的坐標”是否有解、“是否有規定范圍內”有解的問題，使問題得到簡單、有效地解決.

(責任編輯 金 鈴）