概率解題中的幾個(gè)誤區(qū)

概率題是高考一個(gè)的熱點(diǎn)，但由于學(xué)生對(duì)概率知識(shí)理解不夠透徹，解題中容易陷入困境.本文就教學(xué)中學(xué)生常見的幾個(gè)誤區(qū)做一分析.

【例1】 （人教版必修2下P140例2）一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的一個(gè)白球和已編有號(hào)碼的3個(gè)黑球，從中摸出2個(gè)球.摸出2個(gè)黑球的概率是多少？

誤區(qū)一：例1中“摸出2個(gè)球”是一次（同時(shí)）摸2個(gè)還是先后摸2個(gè)（一次摸一個(gè)），“黑1，黑2”與“黑2，黑1”是一種結(jié)果還是兩種結(jié)果，同時(shí)摸和先后摸對(duì)結(jié)果有影響嗎？

顯然例1中從4個(gè)球中摸出2個(gè)球是同時(shí)摸，“黑1，黑2”與“黑2，黑1”是一種結(jié)果.

如果將例1中摸出2個(gè)球看做是先后（依次）摸出兩個(gè)球，摸出2個(gè)黑球的概率是多少？

先后摸出2個(gè)球，試驗(yàn)的所有結(jié)果（基本事件）組成的集合I含有A24=12個(gè)元素.而摸出2個(gè)黑球結(jié)果組成的集合I含有A23=6個(gè)元素的子集A.因此，摸出2個(gè)黑球的概率

結(jié)論：摸球的過程不同，但得出的結(jié)果是相同的.概率的實(shí)質(zhì)是在大量的重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值.也就是說概率是試驗(yàn)結(jié)果的可能性，與試驗(yàn)過程無關(guān).“黑1，黑2”與“黑2，黑1”是一種結(jié)果還是兩種結(jié)果只取決于試驗(yàn)過程.在運(yùn)用P(A)=Card(A)Card(I)計(jì)算等可能性事件的概率時(shí)，因?yàn)榧螦是集合I的子集，所以計(jì)算Card(A)和Card(I)時(shí)，要同時(shí)運(yùn)用排列（有序）或同時(shí)運(yùn)用組合（無序），且不可將“有序”和“無序”混用.

【例2】 （人教版必修2下P144練習(xí)）先后拋擲2枚均勻的硬幣.（1）一共可能出現(xiàn)多少種不同的結(jié)果？（2）出現(xiàn)1枚正面1枚反面的結(jié)果有多少種？（3）出現(xiàn)1枚正面1枚反面的概率是多少？（4）有人說：“一共出現(xiàn)2枚正面，2枚反面，1枚正面1枚反面這三種結(jié)果，因此，出現(xiàn)1枚正面1枚反面的概率是13”.這種說法對(duì)嗎？

誤區(qū)二：例2中“先后拋擲2枚均勻的硬幣”改為“同時(shí)拋擲2枚均勻的硬幣”那么（4）中的說法成立嗎？

有人認(rèn)為：先后拋擲的2枚硬幣之間有序，故一正一反有“正反、反正”兩種結(jié)果.而同時(shí)拋擲的2枚硬幣之間無序，故（4）的說法正確.

分析：如果在同時(shí)拋擲中，把基本事件認(rèn)為有“2枚正面，2枚反面，1枚正面1枚反面”這三種結(jié)果，那么兩枚硬幣出現(xiàn)正面和反面相互獨(dú)立，事件“兩枚均為正面”的概率應(yīng)為12?12=14.事件“兩枚均為反面”的概率也為14.故事件“1枚正面1枚反面”的概率為1-14-14=12，而不是13.

結(jié)論：在運(yùn)用P(A)=Card(A)Card(I)求概率時(shí)，必須保證各個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等.“出現(xiàn)2枚正面，2枚反面，1枚正面1枚反面”這三個(gè)基本事件發(fā)生的可能性不等.所以在解答等可能性事件的概率時(shí)，謹(jǐn)防“非等可能性”與“等可能性”混淆.

【例3】 某人有五把鑰匙，其中只有一把能打開門，但他忘了是哪一把，于是他便將五把鑰匙逐把不重復(fù)試開.問：恰好第三次打開門的概率是多少？

誤區(qū)三：解法一中“第三次打開”既然已經(jīng)打開了，從實(shí)際情景考慮，后面就不會(huì)再去試了.即只需考慮第一、二次的情形.則m=A24.P(A)=mn=A24A55=110

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顯然，這種說法是錯(cuò)誤的.計(jì)算等可能性事件的概率時(shí)，在試驗(yàn)中等可能出現(xiàn)的n個(gè)結(jié)果組成一個(gè)集合I，這n個(gè)結(jié)果就是集合I的n個(gè)元素.各個(gè)基本事件均對(duì)應(yīng)于集合I的含有1個(gè)元素的子集.包含m個(gè)結(jié)果的事件A對(duì)應(yīng)于I的包含有m個(gè)元素的子集A.因此從集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素個(gè)數(shù)與集合I的元素個(gè)數(shù)的比值，P(A)=mn.“五把鑰匙依次逐把打開”作為“一次試驗(yàn)”，則可能出現(xiàn)的n個(gè)結(jié)果組成一個(gè)集合I.即I={abcde，abdec，acdeb…}.包含m個(gè)結(jié)果的事件A對(duì)應(yīng)于I的包含有m個(gè)元素的子集A，則A中的元素應(yīng)是a在第三個(gè)位置的五個(gè)字母的排列.即A={cbade，bdace，cdaeb…}.所以n=A55，m=A44.

如果“從第三次打開”出發(fā)可理解為：一次試驗(yàn)確定為前三次試開，等可能出現(xiàn)的n個(gè)結(jié)果組成集合I={abc，abd，acd…}，Card(I)=A35，而事件A是a在第三個(gè)位置的集合I的子集，即A={cba，bda，cda…}，Card(A)=A24.所以P(A)=A24A35=15.所以上述說法錯(cuò)誤的原因是認(rèn)為集合A不是集合I的子集.

結(jié)論：等可能事件概率計(jì)算時(shí)，對(duì)于事件與事件的“包含”與“不包含”的關(guān)系不能混淆.

(責(zé)任編輯 金 鈴）