由一道2011年中考試題引發的研究性學習

一、試題呈現

題目：（2011年浙江省溫州市初中學業考試數學試題16）我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）.圖2由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成.記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，則S2的值是_____.

解：由圖知S1+S3=2S2，∴S2=103.

二、試題中數學文化的探究

趙爽，又名嬰，字君卿，東漢末至三國時代人，我國漢代數學家，

天文學家.曾注《周髀算經》，他所作的《周髀算經注》中有一篇

《勾股圓方圖注》其中一段530余字的“勾股圓方圖”注文是數學史上

極有價值的文獻.它記述了勾股定理的理論證明，將勾股定理表述為：

“勾股各自乘，并之，為弦實.開方除之，即弦.”證明方法敘述為：

“按弦圖，又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差自相

乘為中黃實，加差實，亦成弦實.”（見圖1）《勾股圓方圖注》中還推導出二次方程 (其中a>0，A>0)的求根公式，在《日高圖注》中利用幾何圖形面積關系，給出了“重差術”的證明（漢代天文學家測量太陽高、遠的方法稱為重差術）.趙爽根據弦圖，利用面積法進行證明，著名數學家華羅庚曾提出把“數學關系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進行第一次“談話”的語言.他是中國最早證明勾股定理的人.記錄這一證明的趙爽注《周髀算經》宋刻本，現存上海圖書館.

世界名題是數學大師們的智慧的沉淀，其蘊含的獨特的構思、頗具創造性的思維技巧以及精彩的結論都是數學中的瑰寶.課標把“體現數學文化價值”列入新課程的十大基本理念，強調“數學課程應當反映數學的歷史、應用和發展趨勢，數學對社會發展的推動作用，數學的社會需求，社會發展對數學發展的推動作用，數學科學的思想體系，數學的美學價值，數學家的創新精神”，本試題以我國漢代數學家趙爽的“弦圖”為背景具有基礎、公平、文化性，又有區分度，能激發學生的學習興趣，體現新課標理念，同時對學生進行了愛國教育，增強學生的愛國熱情.

三、勾股定理教學方法探究

在初二幾何的《勾股定理》的教學中，我以往講授新課時，總是照本宣科地將知識傳授給學生，學生知其然，卻不知其所以然，失去了對知識、技能、方法的領悟過程，教學效果很不理想.現在我先給學生講“勾股定理”的歷史及其一些著名的證明方法，特別是我國古代數學家趙爽用面積法的證明方法，把學生帶入勾股定理的教學情境中.并介紹：《九章算術》記載：今有勾三尺，股四尺，問為弦幾何.答曰：五尺.我國古代稱直角三角形的短直角邊為勾，長直角邊為股，斜邊為弦.又如《周髀算經》稱：“勾廣三，股修四，徑隅五.”課本表述為：勾股定理，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理作為幾何學中一條重要的定理，古往今來，有無數人探索它的證明方法.當我告訴學生它的證明方法有500來種時，更讓學生們大吃一驚.接著向學生介紹歷史上幾種著名的證法.我發揮信息技術的優勢，利用現代教育媒體，配合教學課件，為學生展現證明的過程，使學生印象更深刻.

方法1：劉徽以割補術論證這一定理（圖1）.

方法2：趙君卿注里記載的證法（圖2）：2ab+(b-a)2=c2，化簡為 a2+b2=c2.

方法3：利用相似三角形的性質的證法 （圖3）：直角三角形ABC，AD為斜邊BC上的高.利用相似三角形的性質可得：AB∶BC=BD∶AB，即AB2=BD×BC，AC∶BC=DC∶AC，即AC2=DC×BC，兩式相加得：AB2+AC2=BD×BC+DC×BC=（BD+DC）×BC=BC2 .

方法4：如圖4：兩個正方形邊長分別是a，b，它們的面積和為 a2+b2.

如圖5，在圖4的基礎上，構造了以a，b為直角邊的直角三角形，斜邊為c.在圖5的基礎上把兩個直角三角形順時針旋轉90°，構成了如圖6的正方形，且它的邊長為c，即面積為c2.定理得證.

在演示課件時，向學生詳細介紹這幾種證明方法，讓學生清楚運用割補法、等比法、代數法等可證明定理.學生們觀看了教師所演示的勾股定理的幾種證法之后，有了一種豁然開朗的感覺.接著讓學生用課前準備的材料，自己動手試一試.

要求：用8個全等的直角三角形，它們的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c；3個邊長分別為a，b，c的正方形，用拼圖的方法來證明勾股定理，即趙爽的弦圖法.

在教師的指導下，學生很快就把勾股定理證出來了（如圖7）.由于引入了勾股定理的歷史背景，及簡明、巧妙的證法，激發了學生的學習動機和好奇心，培養了學生的求知欲望.在教學過程中，教師還要求學生自己動手實踐，使學生深入其境，真正作為一個主體去從事研究工作，調動了學生學習的積極性和主動性，提高學生運用知識解決實際問題的能力和動手能力.

四、趙爽弦圖試題編制例舉

以趙爽弦圖為背景材料來命制試題，早已在高考、中考、

普通考試中廣泛使用.

【例1】 （2007年，北京高考理，13）2002年在北京召開的國際數學家

大會，會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的．弦

圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方

形（如圖8）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直

角三角形中較小的銳角為θ，那么cos2θ的值等于____.

【例2】 （2009年，湖北中考，10）2002年8月在北京召開的國際數學家大會會徽如圖9所示，它由四個相同的直角三角形拼成，若較長直角邊為3，較短直角邊為2，則圖中大正方形與小正方形的面積之比是（ ）.

五、“趙爽弦圖”的美學意義

2002年中國舉辦國際數學家大會以及會標中蘊含的故事是這樣的：國際數學家大會，簡稱ICM，由國際數學聯盟舉辦，是每4年舉行一次的世界數學家的盛會，也是最高水平的全球性數學科學學術會議，會上頒發的 “菲爾茲獎”，被譽為“數學諾貝爾獎”.2002年ICM在中國北京舉行.這是國際數學家大會105年來第一次在發展中國家舉辦，表明了中國數學國際地位的上升.國家郵政局為此發行了一枚郵資明信片，郵資圖就取自大會會標，由4個全等的直角三角形及它們圍成的一個正方形構成（如圖10所示）.這一設計的基礎是三國時期數學家趙爽用中國古代獨創的“出入相補”方法證明“勾股定理”的圖解.2002年國際數學家大會會標主圖的幾何圖案，就是該證明中所用“弦圖”的簡化和藝術化.

(責任編輯 黃春香）